Goursatský čtyřstěn

Goursatský čtyřstěn je čtyřstěnnou základní oblastí Wythoffovy konstrukce . Každá plocha čtyřstěnu představuje zrcadlovou nadrovinu na 3-rozměrném povrchu - 3-kouli , euklidovském 3-rozměrném prostoru a hyperbolickém 3-rozměrném prostoru. Coxeter pojmenoval oblast po Édouardu Goursovi , který na tyto oblasti jako první upozornil. Goursatský čtyřstěn je rozšířením teorie Schwartzových trojúhelníků ke konstrukci Wythoff na kouli.

Grafické znázornění

Goursatský čtyřstěn lze graficky znázornit čtyřstěnným grafem, což je duální konfigurace základní domény jako čtyřstěnu. V tomto grafu každý uzel představuje plochu (zrcadlo) Goursatského čtyřstěnu. Každá hrana je označena racionálním číslem odpovídajícím pořadí odrazu, což je ⁄ dihedrální úhel .

4-vertexový Coxeter-Dynkinův diagram představuje tyto čtyřstěnné grafy se skrytými hranami druhého řádu. Pokud je mnoho hran řádu 2, skupina Coxeter může být reprezentována závorkou .

Aby Goursatský čtyřstěn mohl existovat, každý z 3-vrcholových podgrafů tohoto grafu (pqr), (pus), (qtu) a (rst) musí odpovídat Schwartzově trojúhelníku .

Vnější symetrie

Rozšířená symetrie Goursatského čtyřstěnu je polopřímý produkt Coxeterovy skupiny symetrie a základní doména symetrie (v tomto případě Goursatův čtyřstěn). Coxeter podporuje tuto symetrii jako vnořené závorky, jako [Y[X]], což znamená úplnou Coxeterovu skupinu symetrie [X], přičemž Y je symetrie Goursatského čtyřstěnu. Pokud je Y čistá zrcadlová symetrie, bude tato skupina představovat další Coxeterovu skupinu odrazů. Pokud existuje pouze jedna jednoduchá zdvojená symetrie, Y může být vyjádřeno explicitně, jako [[X]] se zrcadlovou nebo rotační symetrií, v závislosti na kontextu.

Rozšířená symetrie každého Goursatského čtyřstěnu je uvedena níže. Nejvyšší možná symetrie je na pravidelném čtyřstěnu , [3,3] a je dosažena na prizmatické bodové grupě [2,2,2] nebo [2 [3,3] ] a na parakompaktní hyperbolické grupě [ 3 [3,3] ].

Podívejte se na symetrie čtyřstěnů pro 7 symetrií čtyřstěnů nízkého řádu.

Celkový počet řešení

Následující části ukazují všechny kompletní sady řešení Goursat tetraedrů pro 3-sférický, euklidovský 3-prostor a hyperbolický 3-prostor. Je také naznačena rozšířená symetrie každého čtyřstěnu.

Barevné čtyřstěnné diagramy níže jsou vrcholy zkrácených mnohostěnů a voštin z každé rodiny symetrií. Popisky hran představují řády polygonálních ploch, což je dvojnásobek řádů větví Coxeterova grafu. Úhel vzepětí hrany označené 2n je . Žluté okraje označené 4 jsou získány z pravého úhlu (nespojených) zrcadel (uzlů) Coxeterova diagramu.

(Konečná) řešení na 3-kouli

Řešení pro 3-koule s hustotou 1: ( stejnoměrné mnohostěny )

Coxeterova skupina a diagram	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Pořadí skupin symetrie	16	8p _	4pq _	4p2 _ _	48	96	240
Symetrie čtyřstěnu	[3,3] (pořadí 24)	[2] (pořadí 4)	[2] (pořadí 4)	[2 + ,4] (pořadí 8)	[ ] (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[ ] + (objednávka 1)
Rozšířené symetrie	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Pořadí rozšířených grup symetrie	384	32p _	16pq _	32p2 _ _	96	96	240

Typ grafu	Lineární				Trojlistý
Coxeterova skupina a diagram	Pět buněk [3,3,3]	Šestnáct buněk [4,3,3]	Dvacet čtyři buněk [ 3,4,3 ] ]]	600 buněk [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semitesseract [3 1,1,1 ]
Vrcholový obrazec zkráceného jednotného mnohostěnu
Čtyřstěn
Pořadí skupin symetrie	120	384	1152	14400	192
Tetraedrická symetrie	[2] + (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[2] + (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[3] (objednávka 6)
Rozšířená symetrie	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
Pořadí rozšířené skupiny symetrie	240	384	2304	14400	1152

Řešení v euklidovském 3-prostoru

Řešení hustoty 1: Convex Uniform Honeycomb :

Typ grafu	Lineární	Trojlistý	Prsten	Prizmatický			degenerovat
Coxeter group Coxeterův diagram	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]	[∞,2,∞]
Vertexová figura celozkrácených plástů
Čtyřstěn
Tetraedrická symetrie	[2] + (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)	[2 + ,4] (pořadí 8)	[ ] (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[3] (objednávka 6)	[2 + ,4] (pořadí 8)
Rozšířená symetrie	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4.3 1.1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Řešení pro hyperbolické 3-prostory

Řešení hustoty 1: ( Konvexní homogenní plástve v hyperbolickém prostoru ) ( Kompaktní (Lannerové simplické skupiny) )

Typ grafu	Lineární			Trojlistý
Coxeter group Coxeterův diagram	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5,3 1,1 ]
Vertexové figury celozkrácených plástů
Čtyřstěn
Tetraedrická symetrie	[2] + (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[2] + (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)
Rozšířená symetrie	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Typ grafu	Prsten
Coxeter group Coxeterův diagram	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Vertexové figury celozkrácených plástů
Čtyřstěn
Tetraedrická symetrie	[2] + (objednávka 2)	[2,2] + (pořadí 4)	[2] + (objednávka 2)	[2] + (objednávka 2)	[2,2] + (pořadí 4)
Rozšířená symetrie	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Řešení v parakompaktních hyperbolických 3-prostorech

Řešení hustoty 1: (Viz Paracompact (skupiny Kozulových simplicí) )

Typ grafu	Spojnicové grafy
Coxeter group Coxeterův diagram	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Tetraedrická symetrie	[ ] + (objednávka 1)	[2] + (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[ ] + (objednávka 1)	[2] + (objednávka 2)	[ ] + (objednávka 1)	[2] + (objednávka 2)
Rozšířená symetrie	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Typ grafu	Prstencové grafy
Coxeter group Coxeterův diagram	[3 [ ]×[ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 , 3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Tetraedrická symetrie	[2] (pořadí 4)	[ ] (objednávka 2)	[2] + (objednávka 2)	[2 + ,4] (pořadí 8)	[2] + (objednávka 2)	[2] + (objednávka 2)	[2] + (objednávka 2)	[2,2] + (pořadí 4)
Rozšířená symetrie	[2[3 [ ]×[ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Typ grafu	Trojlistý			ocasní kroužek				Simplex
Coxeter group Coxeterův diagram	[6,3 1,1 ]	[3,4 1,1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Tetraedrická symetrie	[ ] (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)	[3] (objednávka 6)	[ ] (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)	[ ] (objednávka 2)	[3,3] (pořadí 24)
Rozšířená symetrie	[1[6,3 1,1 ]] =[6,3,4]	[1[3,4 1,1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Racionální rozhodnutí

Existují stovky racionálních řešení pro 3-koule , včetně těchto 6 lineárních grafů, které tvoří Schläfli–Hessův mnohostěn , a 11 nelineárních:

Viz také

• Bodová grupa symetrie pro n -simplexní řešení na ( n - 1)-kouli.

Poznámky

Literatura

• Coxeter HCM Tabulka 3: Schwarzovy trojúhelníky //Regular Polytopes (kniha) . - Třetí edice. - Dover Edition, 1973. - S.  280 , Goursatův čtyřstěn. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. - University of Toronto, 1966. - (Ph.D. disertační práce). Johnson dokázal, že Coxeterův výčet Goursatských tetraedrů je kompletní.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Vydání. 6 . — s. 9–102, 80–81 tetraedry .
• Klitzing, Richard. Dynkin diagramy Goursat tetraedry
• NW Johnson . Kapitoly 11,12,13 // Geometrie a transformace. — 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Transformation Groups // Velikost hyperbolického Coxeter simplexu . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.