Bochnerova identita
Bochnerova identita je obecný název pro rodinu identit v Riemannově geometrii , které se týkají Laplaciánů různých typů a zakřivení . Identity získané integrací Bochnerových identit se někdy nazývají identity Reilly .
Formulace
Nechť je Diracova fibrace přes Riemannovu varietu ,
buď odpovídající Diracův operátor , a pak
pro jakoukoli sekci .
Notace
Dále označuje ortonormální rámec v bodě.
tzv. Laplacián ve spojení .
- je průřez definovaný jako
kde " " znamená
Cliffordovo násobení a
je
transformace zakřivení .
a
Hodge Laplacián na diferenciálních formách
Důsledky
- Z Bochnerovy identity pro gradient funkce získáme následující integrální vzorec pro libovolnou uzavřenou varietu
,
kde označuje
hesenský .
kde označuje
gradient . Zejména:
- Kompaktní rozdělovače s kladným Ricciho zakřivením nepřipouštějí nenulové harmonické funkce.
- Je-li harmonická funkce na varietě s kladným Ricciho zakřivením, pak je funkce
subharmonická .
- Z Bochnerova vzorce vyplývá, že na kompaktních rozdělovačích s operátorem kladné křivosti nejsou žádné harmonické formy jakéhokoli stupně , to znamená, že jde o racionálně homologickou kouli.
- Další metodou, jmenovitě Ricciho tokem , bylo možné dokázat, že každá taková varieta je difeomorfní k faktoru koule s ohledem na konečnou grupu. [jeden]
Poznámky
- ↑ B. Wilking, C. Böhm. Variety s pozitivními operátory zakřivení jsou prostorové formy // Ann . matematiky. (2). - 2008. - Sv. 167 , č.p. 3 . — S. 1079–1097 .
Literatura
- H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spinová geometrie. — 1989.