Bochnerova identita

Bochnerova identita je obecný název pro rodinu identit v Riemannově geometrii , které se týkají Laplaciánů různých typů a zakřivení . Identity získané integrací Bochnerových identit se někdy nazývají identity Reilly .

Formulace

Nechť je Diracova fibrace přes Riemannovu varietu , buď odpovídající Diracův operátor , a pak $S$ $M$ $D$

D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R))(\phi )

pro jakoukoli sekci . $\phi \colon M\to S$

Notace

Dále označuje ortonormální rámec v bodě. $e_{i}$

$\nabla$ označuje spojení na , a $S$ $\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$

tzv. Laplacián ve spojení .

$\mathfrak{R}$ je průřez definovaný jako $\mathrm {Hom} (S,S)$ ${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i },e_{k}}\phi ,$

kde " " znamená Cliffordovo násobení a

.

R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}

je transformace zakřivení .

$D$ je operátor Dirac na , tj. $S$ $D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$

a Hodge Laplacián na diferenciálních formách

D^{2}\phi =\Delta \phi

Důsledky

Z Bochnerovy identity pro gradient funkce získáme následující integrální vzorec pro libovolnou uzavřenou varietu $u$ $\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{ M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

kde označuje hesenský .

\mathrm {Hess} \,u

u

Pokud je harmonická funkce , pak $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ $\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}} (\nabla u,\nabla u)$ ,

kde označuje gradient . Zejména:

\nabla u

u

Kompaktní rozdělovače s kladným Ricciho zakřivením nepřipouštějí nenulové harmonické funkce.
Je-li harmonická funkce na varietě s kladným Ricciho zakřivením, pak je funkce

subharmonická .

u

|\nabla u|

Z Bochnerova vzorce vyplývá, že na kompaktních rozdělovačích s operátorem kladné křivosti nejsou žádné harmonické formy jakéhokoli stupně , to znamená, že jde o racionálně homologickou kouli.
- Další metodou, jmenovitě Ricciho tokem , bylo možné dokázat, že každá taková varieta je difeomorfní k faktoru koule s ohledem na konečnou grupu. [jeden]

Poznámky

↑ B. Wilking, C. Böhm. Variety s pozitivními operátory zakřivení jsou prostorové formy // Ann . matematiky. (2). - 2008. - Sv. 167 , č.p. 3 . — S. 1079–1097 .

Literatura

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spinová geometrie. — 1989.