Identita rovnoběžníku

Identita rovnoběžníku je jednou z rovností ve vektorové algebře a vektorové analýze .

V euklidovské geometrii

Součet druhých mocnin délek stran rovnoběžníku se rovná součtu druhých mocnin délek jeho úhlopříček .

\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2 }.

V prostorech s vnitřním produktem

Ve vektorových prostorech s vnitřním součinem tato identita vypadá takto [1] :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2},

kde

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

V normovaných prostorech (polarizační identita)

V normovaném prostoru ( V , ), pro který platí identita rovnoběžníku, lze zavést vnitřní součin generující tuto normu, tj. takový, že všechny vektory v prostoru . Tato věta je připisována Fréchetovi , von Neumannovi a Jordanovi [2] [3] . To lze provést následujícím způsobem: $\|\cdot \|$ $\langle x,\ y\rangle$ $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ $X$ $PROTI$

pro skutečný prostor $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4},$ nebo nebo ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 2}.$
pro složitý prostor $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2 }-\|ix+y\|^{2} \přes 4}.$

Výše uvedené vzorce vyjadřující bodový součin dvou vektorů v podmínkách normy se nazývají polarizační identita .

Je zřejmé, že norma vyjádřená v termínech jakéhokoli skalárního součinu, jak je uvedeno dále, tuto identitu uspokojí. $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$

Identita polarizace se často používá k přeměně Banachových prostorů na Hilbertovy prostory .

Generalizace

Jestliže B je symetrická bilineární forma ve vektorovém prostoru a kvadratická forma Q je vyjádřena jako

\ Q(v)=B(v,v)

pak

{\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(uv),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u )-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(uv).\end{array}}

Viz také

Eulerova čtyřúhelníková věta je zobecněním identity na případ libovolných čtyřúhelníků.

Poznámky

↑ Shilov, 1961 , str. 185.
↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Tvrzení 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Matematické metody ve fyzice: rozdělení, operátory Hilbertova prostoru a variační metody (anglicky) . — Birkhauser, 2003. - S. 192. - ISBN 0817642285 . Archivováno 19. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ Gerald Teschl. Věta 0.19 (Jordan–von Neumann) // Matematické metody v kvantové mechanice: s aplikacemi na Schrödingerovy operátory (anglicky) . - American Mathematical Society Bookstore, 2009. - S. 19. - ISBN 0-8218-4660-4 . Archivováno 6. května 2021 na Wayback Machine

Odkazy

Analytická geometrie v rovině a v prostoru / Vektorová algebra (ruština)

Literatura

Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.