Pravděpodobnostní proud

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 25. března 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

V kvantové mechanice , proud pravděpodobnosti (nebo tok pravděpodobnosti ) popisuje změnu ve funkci hustoty pravděpodobnosti .

Definice

Pravděpodobnostní proud je definován jako $\vec j$

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\ right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )

a splňuje kvantově mechanickou rovnici kontinuity

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0

s hustotou pravděpodobnosti danou $\rho$

{\displaystyle \rho =|\Psi |^{2))

Rovnice kontinuity je ekvivalentní následující integrální rovnici:

{\frac {\partial }{\partial t))\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS }}=0

kde je objem a je hranice objemu . Toto je zákon zachování pro hustotu pravděpodobnosti v kvantové mechanice. $PROTI$ $S$ $PROTI$

Konkrétně, pokud je vlnová funkce jednotlivé částice, integrál v prvním členu předchozí rovnice (bez časové derivace) je pravděpodobnost získání hodnoty v rámci měření polohy částice. Druhý člen je rychlost, kterou pravděpodobnost „vytéká“ z objemu . $\psi$ $PROTI$ $PROTI$

Obecně rovnice říká, že časová derivace pravděpodobnosti nalezení částice v je rovna rychlosti, s jakou pravděpodobnost „teče“ z . $PROTI$ $PROTI$

Příklady

Rovinná vlna

Pravděpodobnostní proud, který může být spojen s rovinnou vlnou

\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}

bude zapsáno ve formuláři

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^ {{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.

Toto je součin druhé mocniny amplitudy vlny a rychlosti částice:

{\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}

Všimněte si, že pravděpodobnostní proud je nenulový, i když rovinné vlny jsou stacionární stavy, a tedy

{\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0

všude. To ukazuje, že částice se může pohybovat, i když její hustota prostorové pravděpodobnosti nemá žádnou explicitní časovou závislost.

Částice v krabici

Pro jednorozměrný box s nekonečnými stěnami délky ( ) budou vlnové funkce zapsány ve tvaru $L$ $0<x<L$

\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)

a nula vpravo a vlevo od jámy. Poté se do formuláře zapíše proud

j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\částečné \Psi _{n}}{\částečné x}}-\ Psi _{n}{\frac {\částečné \Psi _{n}^{*}}{\částečné x}}\right)=0

protože $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

Odvození rovnice kontinuity

V této části je rovnice kontinuity odvozena z definice pravděpodobnostního proudu a základních principů kvantové mechaniky.

Předpokládejme, že je to vlnová funkce částice v závislosti na třech proměnných , a ). Pak $\psi$ $X$ $y$ $z$

P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV

definuje pravděpodobnost měření polohy částice v objemu V . Časová derivace bude zapsána ve tvaru

{\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V} \left({\frac {\částečné \Psi }{\částečné t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\částečné \Psi ^{*}}{\částečné t}}\right)dV

kde poslední rovnost znamená, že parciální derivace vzhledem k času může být zařazena pod integrál (tvar objemu nezávisí na čase). Pro další zjednodušení zvažte nestacionární Schrödingerovu rovnici $PROTI$

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

a použijte jej k extrahování časové derivace : $\psi$

{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\ psi

Výsledek substituce do předchozí rovnice pro dává ${\frac {dP}{dt))$

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\ Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV

Nyní po přechodu k divergenci

\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{ *}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*} -\Psi {\vec \nabla }^{2}\Psi ^{*}

a protože se první a třetí termín ruší:

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\ vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV

Pokud si nyní vybavíme výraz pro a všimneme si, že výraz, na který operátor nabla působí, je , napíšeme výraz $P$ $\vec j$

\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}\right)dV =0

což je integrální tvar rovnice kontinuity. Diferenciální tvar vyplývá ze skutečnosti, že předchozí rovnice platí pro všechny objemy a integrál lze vynechat: $PROTI$

{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.