Samodotykový bod

V klasické geometrii je samokontaktní bod ( anglicky  tacnode ) nebo dvojitý hrot [1]  druh singulárního bodu [2] . Definováno jako bod, kde se dva (nebo více) souvislých zakřivených kruhů dotýkají v tomto bodě . To znamená, že dvě větve křivky mají v dvojitém bodě stejnou tečnu [1] .

Kanonickým příkladem je křivka

Dalším příkladem samodotykového bodu je křivka znázorněná na obrázku, která má rovnici

Některá zobecnění

Uvažujme hladkou funkci dvou proměnných s reálnou hodnotou, řekněme f ( x ,  y ), kde x a y  jsou reálná čísla . Takže f mapuje rovinu na přímku. Skupina rovinných difeomorfismů a liniových difeomorfismů působí na prostor všech takových hladkých funkcí, to znamená, že difeomorfismy mění souřadnice jak v oblasti definice , tak v oblasti hodnot . Tato akce rozděluje celý prostor funkcí na třídy ekvivalence , tedy oběžné dráhy skupinové akce.

Jedna taková rodina tříd ekvivalence je označena Ak ± [ , kde k  je nezáporné celé číslo. Označení zavedl V. I. Arnold [3] . O funkci f se říká, že má singularitu typu A k ± , pokud leží na dráze x 2  ±  y k +1 , to znamená, že existuje difeomorfní transformace souřadnic v oblasti definice a v rozsahu hodnoty, které přebírají f do jedné z těchto forem. Tyto jednoduché formy x 2  ±  y k +1 údajně definují normální formy pro singularity typu A k ± .

Křivka s rovnicí f = 0 bude mít bod vlastního kontaktu v počátku právě tehdy, když f má v počátku singularitu typu A 3 − .

Všimněte si, že bod vlastního průsečíku křivky ( x 2  −  y 2 = 0) odpovídá A 1 − -singularitě. Bod vlastního kontaktu odpovídá A 3 − -singularitě. Ve skutečnosti jakákoli singularita typu A 2 n + 1 − , kde n ≥ 0 je celé číslo, odpovídá samostatně se protínající křivce. Jak se hodnota zvyšuje, zvyšuje se pořadí vlastního průniku – průřez, jednoduchá tečnost a tak dále.

Singularity typu A 2 n +1 + pro reálná čísla nejsou zajímavé - všechny odpovídají izolovaným bodům. V komplexních číslech jsou singularity A 2 n +1 + a A 2 n +1 − ekvivalentní — ( x , y ) → ( x , iy ) dává požadovaný difeomorfismus normálních forem.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 12 Steven Schwartzman . Slova matematiky: Etymologický slovník matematických pojmů používaných v angličtině . - Mathematical Association of America , 1994. - S. 217 . — ISBN 9780883855119 .
  2. ↑ Shikin, Frank-Kamentsky, 1997 .
  3. ↑ V. I. Arnold, A. N. Varchenko, S. M. Gusein-Zade. Singularity diferencovatelných zobrazení. - M .: Nauka, 1982. - S. 143-144.

Literatura

Odkazy