Trojúhelníková matice

Trojúhelníková matice je v lineární algebře čtvercová matice , ve které jsou všechny prvky pod (nebo nad) hlavní úhlopříčkou rovny nule.

Základní definice

Horní trojúhelníková matice (nebo horní trojúhelníková matice ) je čtvercová matice , ve které jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule: v [1] [2] $A$ $a_{ij}=0$ $i>j$

Nižší trojúhelníková matice (nebo nižší trojúhelníková matice ) je čtvercová matice, ve které jsou všechny položky nad hlavní úhlopříčkou rovny nule: v [1] [2] . $A$ $a_{ij}=0$ $i<j$

Jednotková trojúhelníková matice (horní nebo dolní) je trojúhelníková matice, ve které jsou všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné: [3] . $A$ $a_{jj}=1$

Diagonální matice je jak horní trojúhelníková, tak spodní trojúhelníková [4] .

Aplikace

Trojúhelníkové matice se používají především při řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAE). Například Gaussova metoda pro řešení SLAE je založena na následujícím výsledku [5] :

libovolnou matici pomocí elementárních transformací přes řádky a permutace řádků lze redukovat do trojúhelníkového tvaru. $A_{{n\times n}}$

Řešení původního SLAE je tedy redukováno na řešení soustavy lineárních rovnic s trojúhelníkovou maticí koeficientů, což není obtížné.

Existuje varianta této metody (nazývaná kompaktní Gaussovo schéma) založená na následujících výsledcích [6] :

jakákoli čtvercová matice s nenulovými úvodními hlavními minoritami může být reprezentována jako součin spodní trojúhelníkové matice a horní trojúhelníkové matice : byla unittrojúhelníková; $A$ $L$ $U$ $A = LU$ $L$
jakákoli nedegenerovaná čtvercová matice může být reprezentována v následujícím tvaru : $A$ $PA=LU$ $P$

Vlastnosti

Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků její hlavní úhlopříčky [7] (zejména determinant unittrojúhelníkové matice je roven jedné).
Množina nedegenerovaných horních trojúhelníkových matic řádu n násobením s prvky z pole k tvoří grupu [4] , která se značí UT ( n , k ) nebo UT n ( k ).
Množina nedegenerovaných nižších trojúhelníkových matic řádu n násobením s prvky z pole k tvoří grupu [4] , která se značí LT ( n , k ) nebo LT n ( k ).
Množina horních jednotkových matic s prvky z pole k tvoří násobením podgrupu UT n ( k ), která se označuje SUT ( n , k ) nebo SUT n ( k ). Podobná podskupina nižších jednotkových trojúhelníkových matic se označuje SLT ( n , k ) nebo SLT n ( k ).
Množina všech horních trojúhelníkových matic s prvky z asociativního kruhu k tvoří algebru s ohledem na operace sčítání, násobení prvky kruhu a násobení matic. Podobné tvrzení platí pro nižší trojúhelníkové matice.
Grupa UT n je řešitelná a její jednotná trojúhelníková podgrupa SUT n je nilpotentní .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 27.
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , str. 9-10.
↑ Ikramov, 1991 , s. deset.
↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , str. 27.
↑ Gantmakher, 1988 , str. 42-43.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. 76, 174-175.
↑ Voevodin a Kuzněcov, 1984 , s. třicet.

Literatura

Voevodin V.V. , Kuzněcov Yu.A. Matice a výpočty. — M .: Nauka , 1984. — 320 s.
Gantmakher F. R. Teorie matic. 4. vyd. — M .: Nauka , 1988. — 552 s. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H. D. . Asymetrický problém vlastních čísel. Numerické metody. — M .: Nauka , 1991. — 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .