Ternární Golayovy kódy

Ternární Golay kódy jsou dva úzce související kódy pro opravu chyb . Kód známý jednoduše jako ternární Golayův kód je -kód, to znamená, že je to lineární kód nad ternární abecedou. Relativní vzdálenost kódů je maximální pro ternární kódy, a proto je ternární Golayův kód dokonalým kódem . Rozšířený ternární Golayův kód je lineární kód [12, 6, 6], který se získá přidáním kontrolního čísla (dává nulový součet) ke kódu [11, 6, 5]. V Teorii konečných grup je rozšířený ternární Golayův kód někdy označován jednoduše jako ternární Golayův kód. ${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Vlastnosti

Ternární Golayův kód

Perfektní ternární Golayův kód
Pojmenoval podle	Marcel Golay
Typ	blokový kód
Délka bloku	jedenáct
Délka zprávy	6
Podíl	6/11 ~ 0,545
Vzdálenost	5
Velikost abecedy	3
Označení	${\displaystyle [11,6,5]_{3))$

Ternární Golayův kód se skládá z 3 6 = 729 kódových slov. Matice kontroly parity

{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccccccccc}1&1&1&2&2&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&0&0&0}{1&1&0&0&0&1&0\1&0&0&0&0&1&0

Kterékoli ze dvou různých kódových slov se liší alespoň v 5 pozicích. Jakékoli ternární slovo délky 11 má Hammingovu vzdálenost nejvýše 2 od přesně jednoho kódového slova. Kód může být konstruován jako čtvercový zbytkový kód délky 11 přes konečné pole F3 .

Používaný v 11-herních fotbalových loteriích ternární Golay kód odpovídá 729 sázkám a zaručuje přesně jednu sázku s maximálně 2 špatnými skóre.

Sada kódových slov s Hammingovou váhou 5 je 3-(11,5,4) blokové schéma .

Rozšířený ternární Golayův kód

Rozšířený ternární Golayův kód
Pojmenoval podle	Marcel Golay
Typ	blokový kód
Délka bloku	12
Délka zprávy	6
Podíl	6/12 = 0,5
Vzdálenost	6
Velikost abecedy	3
Označení	${\displaystyle [12,6,6]_{3))$

Kompletní váhový enumerátor rozšířeného ternárního Golayova kódu

x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{ 6}x^{6}\right)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{ 6}x^{3}y^{3}\vpravo).

Skupina automorfismu skupiny rozšířeného ternárního kódu je 2. M 12 , kde M 12 je Mathieuova grupa M12 .

Rozšířený ternární Golayův kód lze zkonstruovat jako řádky Hadamardovy matice řádu 12 nad polem F3 .

Zvažte všechna rozšířená kódová slova, která mají šest nenulových číslic. Množiny pozic, ve kterých se tyto nenulové číslice objevují, tvoří Steinerův systém S(5, 6, 12).

Historie

Golayův ternární kód objevil Golay [1] . Kód nezávisle na sobě objevil o dva roky dříve finský fotbalový nadšenec pro sázení Juhani Virtakallio, který jej publikoval v roce 1947 v číslech 27, 28 a 33 fotbalového časopisu Veikkaaja [2] .

Viz také

Binární Golay kód

Poznámky

↑ Golay, 1949 .
↑ Barg, 1993 , str. 25.

Literatura

Alexander Barg. Na úsvitu teorie kódů // The Mathematical Intelligencer . - 1993. - T. 15 , no. 1 . — S. 20–26 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025254 .
Golay MJE Poznámky k digitálnímu kódování // Proceedings of the IRE . - 1949. - T. 37 . - S. 657 .
Teorie algebraického kódování: Historie a vývoj / Blake IF (ed.). — Stroudsburg: Dowden, Hutchinson & Ross, 1973.
JH Conway , NJA Sloane . Kulové těsnění , mřížky a skupiny . — New York, Berlín, Heidelberg: Springer , 1988.
Robert L. Griess. Dvanáct sporadických skupin . - Springer, 1998.
Cohen G., Honkala I., Litsyn S., Lobstein A. Krycí kódy. - Elsevier , 1997. - ISBN 0-444-82511-8 .
čt. M. Thompson. Od kódů pro opravu chyb přes Sphere Packings až po jednoduché skupiny . - The Mathematical Association of America , 1983. - ISBN 0-88385-037-0 .