Snižování a zvyšování faktoriálů

Klesající faktoriál [1] (někdy nazývaný nižší , postupně klesající nebo sestupný faktoriál [2] [3] ) se zapisuje pomocí Pochhammerova symbolu a je definován jako

(x)_{n}=x^{\podtržení {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

Rostoucí faktoriál (někdy názvy Pochhammerova funkce , Pochhammerův polynom [4] , horní , postupně rostoucí nebo vzestupný faktoriál [2] [3] ) jsou definovány jako

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

Hodnota obou faktoriálů je rovna 1 ( prázdný součin ) pro n = 0.

Symbol Pochhammer , navržený Leo Augustem Pochhammerem , je označení pro , kde je nezáporné celé číslo . V závislosti na kontextu může symbol Pochhammer představovat klesající faktoriál nebo rostoucí faktoriál, jak je definováno výše. Při výkladu symbolu v jakémkoli konkrétním článku je třeba postupovat opatrně. Sám Pochhammer používal zápis se zcela jiným významem, a to k označení binomického koeficientu [5] . $(x)_{n}$ $n$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n))$

V tomto článku se symbol používá k reprezentaci klesajícího faktoriálu a symbol k reprezentaci rostoucího faktoriálu. Tyto konvence jsou přijímány v kombinatorice [6] . V teorii speciálních funkcí (zejména hypergeometrické funkce ) se Pochhammerův symbol používá k reprezentaci rostoucího faktoriálu [7] Užitečný seznam vzorců pro manipulaci s rostoucími faktoriály v tomto posledním zápisu je uveden v knize Lucy Slater [8] . Knuth použil termín faktoriálové mocniny , které zahrnují rostoucí a klesající faktoriály [9] $(x)_{n}$ ${\displaystyle x^{(n)))$ $(x)_{n}$

Je-li x nezáporné celé číslo, pak udává počet n -permutací množiny x prvků nebo ekvivalentně počet injekcí z množiny s n prvky do množiny o velikosti x . Pro tyto hodnoty se však používají jiné zápisy, například P ( x , n ). Pochhammerův symbol se používá většinou pro algebraické účely, například když x je neznámá veličina, v takovém případě znamená určitý polynom v x stupně n . $(x)_{n}$ $_{x}P_{n}$ $(x)_{n}$

Příklady

Prvních několik rostoucích faktoriálů:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

Prvních několik klesajících faktoriálů:

(x)_{0}=x^{\underline {0}}=1

(x)_{1}=x^{\underline {1}}=x

(x)_{2}=x^{\podtržení {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\podtržení {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\podtržení {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

Koeficienty získané otevřením závorek jsou Stirlingova čísla prvního druhu .

Vlastnosti

K vyjádření binomických koeficientů lze použít rostoucí a klesající faktoriály :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \vyberte n}.

Potom se mnoho identit pro binomické koeficienty přenese na rostoucí a klesající faktoriály.

Rostoucí faktoriál lze vyjádřit jako klesající faktoriál začínající na druhém konci,

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

nebo jako klesající faktoriál s opačným argumentem,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Rostoucí a klesající faktoriály jsou dobře definované v jakémkoli jednotném kruhu , a proto x může být například komplexní číslo , záporné číslo, polynom s komplexními koeficienty nebo jakákoli komplexní funkce .

Rostoucí faktoriál lze rozšířit na reálné hodnoty n pomocí funkce gama :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

a stejným způsobem klesající faktoriál:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Označíme-li D s derivací x , dostaneme

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

Symbol Pochhammer je nedílnou součástí definice hypergeometrické funkce - hypergeometrická funkce je definována pro | z | < 1 mocninná řada

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n) } \přes c^{(n)}}\,{z^{n} \přes n!}

za předpokladu, že c se nerovná 0, −1, −2, ... . Všimněte si však, že v literatuře o hypergeometrické funkci je rostoucí faktoriál označen . ${(a)}_{n}$

Spojení se stínovým kalkulem

Klesající faktoriál se vyskytuje ve vzorci, který představuje polynomy pomocí operátoru konečných rozdílů a který je formálně podobný Taylorově větě . V tomto vzorci a na mnoha dalších místech hraje roli při výpočtu derivace klesající faktoriál při výpočtu konečných rozdílů . Všimněte si například podobnosti $\vartriangle$ ${\displaystyle (x)_{k))$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

Dx^{k}=k\ x^{k-1},

Podobná fakta platí pro rostoucí faktoriály.

Studium analogií tohoto typu je známé jako „ stínový počet “ [10] . Hlavní teorie popisující takové vztahy, včetně klesajících a rostoucích funkcí, je uvažována v teorii polynomických posloupností binomického typu a Schaefferových posloupnostech . Rostoucí a klesající faktoriály jsou Schaefferovy posloupnosti binomického typu, jak ukazují následující vztahy:

(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }

(a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{nj}(b)_{j}

kde koeficienty jsou stejné jako v rozšíření mocninné řady binomické Vandermondovy identity ).

Podobně se pak generující funkce Pochhammerových polynomů rovná součtu stínových exponentů,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~ ,

od . $\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$

Vazební koeficienty a identity

Klesající a rostoucí faktoriály jsou ve vzájemném vztahu pomocí Lachových čísel a pomocí součtů celočíselných mocnin proměnné pomocí Stirlingových čísel druhého druhu takto (zde ): [11] $X$ ${\binom {r}{k}}=r^{\underline {k}}/k!$

{\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\krát (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n))))\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\podtržení {nk}}\krát x^{\podtržení {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\podtržení {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {-n}}}}\\&={\ binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\součet _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\nk\end{matrix}}\right\}x^{\podtržení {nk}}\\&=\součet _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ konec{aligned}}

Protože klesající faktoriály jsou základem pro polynomiální kruh , můžeme součin dvou z nich vyjádřit jako lineární kombinaci klesajících faktoriálů:

(x)_{m}(x)_{n}=\součet _{k=0}^{m}{m \vyberte k}{n \vyberte k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Koeficienty at se nazývají spojovací koeficienty a mají kombinatorickou interpretaci jako počet způsobů, jak slepit k prvků ze sady m prvků a sady n prvků. Máme také spojovací vzorec pro poměr dvou Pochhammerových symbolů ${\displaystyle (x)_{m+nk))$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\ n\geq i.

Kromě toho můžeme rozšířit zobecněné mocenské pravidlo a negativní rostoucí a klesající pravomoci o následující identity:

{\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\underline {n}}}}\\x^{\underline {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{aligned}}

Nakonec zdvojovací vzorec a vzorec násobení pro rostoucí faktoriály dávají následující vztahy:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k }{m}}\vpravo)_{n},\ m\in \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x))\right )_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Alternativní označení

Alternativní zápis pro rostoucí faktoriál

x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }

za celek

m\geq 0,

A pro klesající faktoriál

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {faktory} }

za celek

m\geq 0;

sahá k A. Capellimu (1893) respektive L. Toscanovi (1939) [12] . Graham, Knuth a Patashnik [13] navrhli vyslovit tento výraz jako „zvýšit x o m “ a „snížit x o m “, v tomto pořadí.

Mezi další zápisy pro klesající faktoriál patří nebo . (Viz články " Permutace " a " Kombinace ".) ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n))$ $_{x}P_{n}$

Alternativní zápis pro rostoucí faktoriál se používá méně často. Aby se předešlo zmatkům, při použití zápisu pro rostoucí faktoriál je zápis pro obvyklý klesající faktoriál [5] . ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle x^{(n)))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{-))$

Zobecnění

Pochhammerův symbol má zobecněnou verzi nazvanou zobecněný Pochhammerův symbol a používá se v multivariační analýze . Existuje také q -analog , Pochhammer q -symbol .

Zobecnění klesajícího faktoriálu, ve kterém je funkce vyhodnocena na klesající aritmetické progresi:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

Odpovídající zobecnění rostoucího faktoriálu

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Tento zápis kombinuje rostoucí a klesající faktoriály, které se rovnají a resp. $[x]^{\tfrac {k}{1))$ $[x]^{\tfrac {k}{-1))$

Pro všechny pevné aritmetické funkce a symbolické parametry související zobecněné produkty formuláře $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ $x,t$

(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k)) }\že jo)

lze studovat z hlediska tříd zobecněných Stirlingových čísel prvního druhu , definovaných pomocí následujících koeficientů at v expanzi a poté pomocí následujícího vztahu opakování: $X$ ${\displaystyle (x)_{n,f,t))$

{\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right] _{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}

Tyto koeficienty splňují četné vlastnosti podobné těm ze Stirlingových čísel prvního druhu , stejně jako rekurentní vztahy a funkční rovnosti spojené s f-harmonickými čísly [14] . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r))$

Viz také

k - symbol Pochhammer
identita Vandermonde

Poznámky

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , str. 106.
↑ Steffensen, 1950 , str. osm.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , s. 403–422.
↑ Olver, 1999 , str. 101.
↑ Tak například v knize „Příručka matematických funkcí“ od Abramoviče a Steguna, str. 256
↑ Slater, 1966 , str. dodatek I.
↑ Knuth, The Art of Computer Programming, sv. 1, 3. vydání, str. padesáti.
↑ Přítomnost četných společných vlastností v binomických posloupnostech byla dlouhou dobu vnímána jako něco záhadného a nevysvětlitelného, proto se jejich studiu říkalo umbrální kalkul, tzn. stínový kalkul ( Lando 2008 ).
↑ Úvod do faktoriálů a binomů . Stránky funkcí Wolfram . (neurčitý)
↑ Podle Knutha The Art of Computer Programming, sv. 1, 3. vydání, str. padesáti.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , str. 47-48.
↑ Kombinatorické identity pro zobecněná Stirlingova čísla Rozšíření f-faktoriálních funkcí a f-harmonických čísel (2016).

Literatura

Koganov L.M. Dva úkoly // Informatika. - 2007. - Vydání. 10 .

Lando S.K. Shadow Calculus // Letní škola "Moderní matematika". - 2008. - Vydání. 2 lekce . Archivováno z originálu 15. prosince 2017.
Traub J. Iterační metody řešení rovnic. - M .: "Mir", 1985.
Steffensen JF interpolace. — 2. - Dover Publications, 1950. - S. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Dvě poznámky k notaci // American Mathematical Monthly

objem = 99. - 1992. - Vydání. 5 . — S. 403–422 . - doi : 10.2307/2325085 . - arXiv : math/9205211 . — .. Poznámka o Pochhammerových symbolech je na straně 414. Donald E. Knuth. Umění počítačového programování. - 3. vyd .. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutace a faktoriály // Umění programování. - třetí edice. - Williams, 2002. - V. 1 Základní algoritmy. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Konkrétní matematika . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J Olver. Klasická invariantní teorie. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Zobecněné hypergeometrické funkce . — Cambridge University Press, 1966.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Základní důkazy