Zkracovací nit

Zkracovací tok je proces, který mění hladkou křivku na rovině pohybem jejích bodů kolmo ke křivce rychlostí rovnou jejímu zakřivení .

Zkracovací tok je studován především jako nejjednodušší příklad geometrického toku , zejména umožňuje vypracovat techniku pro práci s Ricciho tokem a s tokem průměrného zakřivení .

Rovnice

Jednoparametrová rodina křivek je řešením zkracujícího se toku, pokud pro jakoukoli hodnotu parametru máme ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

kde je zakřivení se znaménkem křivky v bodě a je jednotkový normálový vektor ke křivce v bodě . $\kappa _{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$

Vlastnosti

Je-li počáteční křivka jednoduchá a uzavřená, pak při působení zkracovacího toku taková zůstane.
Pro jednoduchou uzavřenou křivku je průtok zkrácení definován na maximálním intervalu . $\gamma _{0}$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $t\in [0,T)$
- V bodě se křivka zhroutí do bodu. $t\to T$ ${\displaystyle \gamma _{t))$
Oblast ohraničená křivkou se zmenšuje konstantní rychlostí. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- Zejména okamžik zhroucení do bodu je zcela určen plochou ohraničenou křivkou: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Pokud původní křivka není konvexní, pak její maximální absolutní zakřivení monotónně klesá, až se stane konvexní.
U konvexní křivky se izoperimetrický poměr zmenšuje a než zmizí v bodě singularity, křivka inklinuje ke tvaru kruhu. [jeden]
Dvě neprotínající se jednoduché hladké uzavřené křivky zůstanou neprotínající, dokud se jedna z nich nezhroutí do bodu.
Kruh je jediná jednoduchá uzavřená křivka, která si zachovává svůj tvar v toku.
- Některé samo se protínající křivky , stejně jako křivky nekonečné délky, si zachovávají svůj tvar.

Aplikace

Zkracující se tok na kouli poskytuje jeden z důkazů Arnoldova problému ohledně existence alespoň čtyř inflexních bodů pro jakoukoli hladkou křivku, která rozřezává kouli na disky stejné plochy. [2]

Poznámky

↑ Gage, ME (1984), "Zkrácení křivky dělá konvexní křivky kruhové", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi:10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurde. "Inflexní body, extatické body a zkrácení křivky." Hamiltonovské systémy se třemi a více stupni volnosti. Springer Nizozemsko, 1999. 3-10.