Unitární prostor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Unitární prostor je vektorový prostor nad polem komplexních čísel s kladně-definitivním [1] [2] Hermitovský skalární součin , komplexní analog Euklidova prostoru .

Definice

Hermitovský skalární součin ve vektorovém prostoru nad polem komplexních čísel je jedna a půl lineární forma , která splňuje další podmínku [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ kde je univerzální kvantifikátor . $\pro všechny$

Jinými slovy to znamená, že funkce splňuje následující podmínky [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) linearita skalárního součinu vzhledem k prvnímu argumentu:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

a platí rovnost:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(někdy v definici berou místo toho linearitu ve druhém argumentu, což není důležité, protože kvůli podmínce jsou ekvivalentní) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) Hermitova vlastnost skalárního součinu:

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

spravedlivá rovnost

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) kladná určitost skalárního součinu:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

a jen kdy

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Vlastnosti

V reálném prostoru je podmínka seskvilinearity ekvivalentní bilinearitě a hermitianita symetriím a vnitřní součin se stává pozitivně definitní bilineární symetrickou funkcí . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
Seskvilineární forma je hermitovská právě tehdy, když [3] , kdy pro všechny vektory funkce nabývá pouze reálných hodnot. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\in {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Rozdíly od euklidovského prostoru

Unitární prostory mají všechny vlastnosti euklidovských prostorů kromě čtyř rozdílů: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Cauchyho-Bunyakovského nerovnost : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
pojem úhel nemá žádný věcný význam;
Gramova matice systému vektorů je hermitovská $\Gamma (f)=f^{T}f$ $F$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Poznámky

↑ A. I. Kostrikin, Yu, I. Manin. Lineární algebra a geometrie. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Analytická geometrie a lineární algebra. - Moskva: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - ch. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Lineární prostory a zobrazení. - M., Moskevská státní univerzita , 1987. - str. 51-52