Breitova rovnice

Breitova rovnice je relativistická vlnová rovnice odvozená Gregorym Breitem v roce 1929 z Diracovy rovnice . Popisuje dvě nebo více hmotných částic se spinem 1/2 (například elektrony), které interagují elektromagneticky až do prvního řádu poruchové teorie. Bere v úvahu magnetické interakce a zpomalené efekty s přesností 1/s². Když jsou ostatní kvantové elektrodynamické efekty zanedbatelné, vykazuje tato rovnice dobrou shodu s experimentem. To bylo nejprve odvozeno z darwinovského Lagrangiana a později dokázáno v Wheeler-Feynmanově absorpční teorii a nakonec v kvantové elektrodynamice .

Úvod

Breitova rovnice není pouze aproximací z hlediska kvantové mechaniky, ale také z hlediska teorie relativity, protože není zcela invariantní podle Lorentzových transformací . Stejně jako Diracova rovnice zachází s jádry jako s bodovými zdroji vnějšího pole pro částice, které popisuje. Pro N částic má Breitova rovnice tvar ( r ij je vzdálenost mezi částicemi i a j ):

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t))=\left(\sum _{i}{\hat {H))_{D}(i)+\součet _{ i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}-\součet _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi$

kde

{\hat {H}}_{D}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y, z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]

Diracův Hamiltonián pro i -tou částici se souřadnicí r i a φ ( r i ) skalární potenciál v této poloze. q i je náboj částice, takže pro elektron q i = − e .

Jednoelektronové Diracovy Hamiltoniany pro částice spolu s jejich okamžitými Coulombovými interakcemi q i q j / r ij tvoří Dirac-Coulombův operátor . K tomu Breit přidal následující operátor ( Breit 's operator ):

{\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {a} (j) +{\frac {\left(\mathbf {a} (i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left(\mathbf {a} (j)\cdot \mathbf {r} _{ ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right]

kde Diracovy matice pro i -tý elektron jsou: a ( i ) = [α x ( i ),α y ( i ),α z ( i )]. Dva termíny v operátoru Breit odpovídají efektům zpoždění prvního řádu. Vlnová funkce Ψ v Breitově rovnici je spinor se 4 N prvky, protože každý elektron je popsán Diracovým bispinorem se 4 prvky a celková vlnová funkce je jejich tenzorovým součinem.

Breitův Hamiltonián

Úplný Hamiltonián v Breitově rovnici, tzv. Dirac-Coulomb-Breitův Hamiltonián ( H DCB ) lze rozložit na energetické operátory pro elektrony v magnetických a elektrických polích (také známý jako Breit-Pauli Hamiltonian ) [1] , které mají dobře definovaný význam při zvažování interakcí molekul s magnetickými poli (jako v případě nukleární magnetické rezonance ):

{\klobouk {B}}_{ij}={\klobouk {H}}_{0}+{\klobouk {H}}_{1}+...+{\klobouk {H}} _{6}

kde je nerelativistický Hamiltonián ( je klidová hmotnost částice i ): ${\hat {H}}_{0}$ $m_{{i}}$

{\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac ({\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+\ součet _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}

;

${\hat {H}}_{1}$ je relativistická korekce na nerelativistický Hamiltonián (spojená s expanzí energie v mocninách rychlosti světla ): $E_{kin}=m_{i}c^{2}{\sqrt {1+\gamma ^{2}v^{2}/c^{2))}-m_{i}c^{ 2}$

{\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i }^{4}}{m_{i}^{3}}}

;

${\hat {H}}_{2}$ - korekce, částečně zohledňuje zpoždění a lze ji popsat jako interakci mezi magnetickými dipólovými momenty částic vznikajících v důsledku orbitálního pohybu nábojů ( interakce orbita-orbita ):

{\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j} c^{2))}\left[\mathbf {\hat {p)) _{i}\cdot \mathbf {\hat {p)) _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij )) \cdot \mathbf {\hat {p)) _{i})(\mathbf {r_{ij)) \cdot \mathbf {\hat {p)) _{j})}{r_{ij}^ {2}}}\right]

;

${\hat {H}}_{3}$ - klasická interakce mezi orbitálními magnetickými momenty (v důsledku orbitálního pohybu nábojů) a spinovými magnetickými momenty (tzv. spin-orbitální interakce ). První termín popisuje interakci rotace částice s její vlastní orbitální hybností ( F ( r i ) je elektrické pole v místě částice) a druhý termín popisuje interakci s orbitální hybností jiné částice:

{\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{B}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\ mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p)) _{i}+\součet _{j >i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]

;

${\hat {H}}_{4}$ - neklasický termín vlastní Diracově teorii, který se také nazývá darwinovský příspěvek :

{\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{ i}^{2))}\mathbf {\hat {p)) _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})

;

${\hat {H}}_{5}$ je magnetický moment interakce spin-spin . První člen se nazývá kontaktní interakce, protože je nenulový pouze tehdy, když jsou částice ve stejném bodě. Druhým termínem je klasická interakce typu dipól-dipól:

{\hat {H}}_{5}=4\mu _{B}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3} }(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{ 3))}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace

;

${\hat {H}}_{6}$ je interakce spinových a orbitálních magnetických momentů s vnějším magnetickým polem H :

{\hat {H}}_{6}={\frac {2e\hbar }{2mc}}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i })\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \ mathbf {\hat {p}}_{i}\right]

Poznámky

↑ H. A. Bethe, E. E. Salpeter. Kvantová mechanika jedno- a dvouelektronových atomů (anglicky) . - New York: Plenum Press , 1977. - S. 181.
G. Breit. Diracova rovnice a spin-spinové interakce dvou elektronů // Phys . Rev. : deník. - New York, USA, 1932. - Sv. 39 . - doi : 10.1103/PhysRev.39.616 . - .
JL Friar, JW Negele . Breitova rovnice analýzy korekcí zpětného rázu na energetické hladiny mionových atomů .
J. Mourad, H. Sazdjian. Jak získat kovariantní rovnici Breitova typu z teorie relativistických omezení // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics : deník. - IoP, 1995. - Sv. 46 . - doi : 10.1088/0954-3899/21/3/004 . - . - arXiv : hep-ph/9412261 .