Van der Waalsova rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. dubna 2021; kontroly vyžadují 10 úprav .

Van der Waalsova rovnice ( nebo van der Waalsova rovnice [ K 1] ) je rovnice , která dává do souvislosti hlavní termodynamické veličiny ve van der Waalsově modelu plynu .

Přestože model ideálního plynu dobře popisuje chování skutečných plynů při nízkých tlacích a vysokých teplotách , za jiných podmínek je jeho shoda se zkušeností mnohem horší. Projevuje se to zejména v tom, že skutečné plyny mohou být převedeny do kapaliny a dokonce i do pevného skupenství , zatímco ideální plyny nikoli.

Pro přesnější popis chování reálných plynů při nízkých teplotách byl vytvořen van der Waalsův model plynu, který bere v úvahu síly mezimolekulární interakce. V tomto modelu se vnitřní energie stává funkcí nejen teploty , ale také objemu . $U$

Van der Waalsova rovnice je jednou z široce známých přibližných stavových rovnic, která popisuje vlastnosti reálného plynu, má kompaktní tvar a zohledňuje hlavní charakteristiky plynu s mezimolekulární interakcí [7] .

Stavová rovnice

Tepelná stavová rovnice (nebo často jen stavová rovnice) je vztah mezi tlakem , objemem a teplotou .

Pro jeden mol van der Waalsova plynu má tvar:

\left(p+{\frac {a}{V_{m}^{2}}}\right)(V_{m}-b)=RT,

kde

$p$ - tlak ,
$V_{m}$ - molární objem ,
$T$ je absolutní teplota ,
$R$ je univerzální plynová konstanta .

Je vidět, že tato rovnice je vlastně stavová rovnice pro ideální plyn se dvěma korekcemi. Korekce zohledňuje přitažlivé síly mezi molekulami (sníží se tlak na stěnu, protože působí síly, které stahují molekuly mezní vrstvy dovnitř), korekce je celkový objem molekul plynu. $A$ $b$

Pro moly van der Waalsova plynu vypadá stavová rovnice takto: $\nu$

\left(p+{\frac {a\nu ^{2}}{V^{2}}}\right)\left({V}-{b\nu }\right)=\nu RT,

kde

$PROTI$ - objem .

Z obrázku, který ukazuje van der Waalsovy izotermy plynu, je vidět, že pod určitou teplotou přestává být závislost monotónní: vytvoří se van der Waalsova smyčka , ve které zvýšení tlaku odpovídá zvětšení objemu , což odporuje zákonům termodynamiky . Vzhled smyčky znamená, že van der Waalsova rovnice v této oblasti změny přestává popisovat skutečnou situaci, kdy dochází k fázovému přechodu plyn-kapalina a skutečná izoterma je úsečka - konnoda (uzel) spojující dvě obrazné body na binodalu. $p(V)$ $p$ $PROTI$

Odvození rovnice

Nejznámější jsou dvě metody získání rovnice: tradiční odvození samotného van der Waalsa a odvození metodami statistické fyziky .

Tradiční odvození

Uvažujme nejprve plyn, ve kterém částice vzájemně neinteragují, takový plyn splňuje stavovou rovnici ideálního plynu :

p={\frac {RT}{V_{{\mathrm {m}}}}}.

Předpokládejme dále, že částice daného plynu jsou elastické koule o stejném poloměru . Vzhledem k tomu, že plyn je v nádobě o konečném objemu, bude prostor, kde se mohou částice pohybovat, poněkud menší. V původním vzorci by měla být jeho určitá část odečtena od celkového objemu , který obecně řečeno závisí pouze na látce, ze které se plyn skládá. Získá se tedy následující rovnice: $r$ $b$

p={\frac {RT}{V_{{\mathrm {m}}}-b}}.

Stojí za zmínku, že odečtený objem nebude přesně roven celkovému objemu všech částic. Pokud jsou částice považovány za pevné a dokonale elastické kuličky, pak bude odečtený objem přibližně čtyřikrát větší. To lze snadno vysvětlit skutečností, že středy elastických kuliček se nemohou přiblížit na vzdálenost blíže než . $b$ $2r$

Dále van der Waals zvažuje přitažlivé síly mezi částicemi plynu a činí následující předpoklady:

Částice jsou rozmístěny rovnoměrně po celém objemu.
Přitažlivé síly stěn nádoby se neberou v úvahu, což v obecném případě neplatí.
Částice umístěné uvnitř nádoby a přímo u stěn pociťují přitažlivost různými způsoby: uvnitř nádoby se působící přitažlivé síly jiných částic vzájemně kompenzují.

U částic uvnitř nádoby se tedy neberou v úvahu přitažlivé síly. Částice umístěné přímo na okraji nádoby jsou taženy dovnitř silou úměrnou koncentraci:

n=N_{{\mathrm {A}}}/V_{{\mathrm {m}}}

Předpokládá se, že počet částic, které se nacházejí přímo u stěn, je úměrný koncentraci . Můžeme předpokládat, že tlak na stěny nádoby je o určitou hodnotu menší, nepřímo úměrný druhé mocnině objemu: $n$

p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}.

Konečná rovnice:

\left(p+{\frac {a}{V_{{\mathrm {m}}}^{2}}}\right)(V_{{\mathrm {m}}}-b)=RT.

Pokud přejdeme z molárního objemu k obvyklému, dostaneme:

\left(p+{\frac {\nu ^{2}a}{V^{2))}\right)(V-\nu b)=\nu RT.

Adiabatická rovnice pro van der Waalsův plyn:

$T\cdot (Vb)^{n-1}=const$ ,

kde $n=1-{\frac {R}{C-C_{V}}}.$

Vnitřní energie van der Waalsova plynu

Potenciální energie intermolekulárních sil interakce se vypočítá jako práce, kterou tyto síly vykonají, když jsou molekuly odděleny do nekonečna:

U_{p}=\int \limits _{V}^{\mathcal {\infty ))\left(-{\frac {\nu ^{2}a}{V^{2))}\ right)\,dV={\frac {\nu ^{2}a}{V}}{\Bigr |}_{V}^{\mathcal {\infty }}=-{\frac {\nu ^{ 2}a}{V}}.

Vnitřní energie van der Waalsova plynu je součtem jeho kinetické energie (energie tepelného pohybu molekul) a potenciální energie, kterou jsme právě vypočítali. Takže pro jeden mol plynu:

U=C_{V}T-{\frac {\nu ^{2}a}{V)),

kde je molární tepelná kapacita při konstantním objemu, o které se předpokládá, že je nezávislá na teplotě. $ŽIVOTOPIS$

Kritické parametry

Kritické parametry plynu jsou hodnoty jeho makroparametrů (tlak, objem a teplota) v kritickém bodě , tedy ve stavu, kdy jsou kapalná a plynná fáze látky nerozeznatelné. Najdeme tyto parametry pro van der Waalsův plyn, pro který transformujeme stavovou rovnici:

\left(p+{\frac {a}{V^{2}}}\right)(Vb)=RT,

\left(V^{2}+{\frac {a}{p}}\right)(Vb)={\frac {V^{2}RT}{p)).

Získali jsme rovnici třetího stupně pro $PROTI$

V^{3}-\left({\frac {RT}{p}}+b\right)V^{2}+{\frac {a}{p}}V-{\frac {ab }{p}}=0.

V kritickém bodě se všechny tři kořeny rovnice spojí do jednoho, takže předchozí rovnice je ekvivalentní následujícímu:

\left(V-V_{crit}\right)^{3}=0,

V^{3}-3V_{crit}V^{2}+3{V_{crit}}^{2}V-{V_{crit}}^{3}=0.

Porovnáním koeficientů u odpovídajících mocnin získáme rovnosti: $PROTI$

{\frac {RT_{crit}}{p_{crit}}}+b=3V_{crit},

{\frac {a}{p_{crit}}}=3{V_{crit}}^{2},

{\frac {ab}{p_{crit}}}={V_{crit}}^{3}.

Z nich vypočítáme hodnoty kritických parametrů...

V_{crit}=3b,

p_{crit}={\frac {a}{27b^{2))},

T_{crit}={\frac {8a}{27bR))

…a kritický koeficient:

k_{crit}={\frac {RT_{crit}}{p_{crit}V_{crit}}}={\frac {8}{3}}.

Zadané parametry

Uvedené parametry jsou definovány jako poměry

\varphi ={\frac {V}{V_{crit}}},\qquad \pi ={\frac {p}{p_{crit}}},\qquad \tau ={\frac {T} {T_{crit}}}.

Pokud dosadíme redukovanou stavovou rovnici (pro mol) do van der Waalsovy rovnice. $V=\varphi V_{crit},$ $p=\pi p_{crit},$ $T=\tau T_{crit},$ $\nu=1$

\left(\pi +{\frac {3}({\varphi }^{2}}}\right)\left(\varphi -{\frac {1}{3}}\right)={ \frac {8}{3}}\tau .

Stojí za zmínku, že pokud mají látky dva stejné redukované parametry ze tří, tak třetí redukované parametry jsou pro ně stejné.

Nevýhody van der Waalsovy rovnice [8]

1. Pro skutečné látky

k_{crit}>2{,}67.

2. Pro skutečné látky (spíše, ).

V_{crit}\not =3b

2b

3. Van der Waalsova rovnice nesouhlasí s experimentem v oblasti dvoufázových stavů.

Viz také

Poznámky

Komentáře

↑ Ve většině moderních slovníků, příruček a encyklopedií je název rovnice uveden ve tvaru „ van der Waalsova rovnice “ [1] [2] [3] [4] [5] . Zároveň se ve Velké ruské encyklopedii rovnice nazývá „ rovnice van der Waals “ [6] .

Zdroje

↑ Ruský pravopisný slovník: asi 200 000 slov / Ruská akademie věd . Ústav ruského jazyka. V. V. Vinogradova / Under. vyd. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova. - 4. vydání, Rev. a doplňkové - M . : AST-Press Book , 2013. - S. 68. - 896 s. - (Základní slovníky ruského jazyka). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Milchin A. E. , Cheltsova L. K. Články, předložky, částice van, yes, das, de, del, der, di, dos, du, la, le, background atd. v západoevropských příjmení a křestních jménech // Adresář vydavatele a autor. Ediční a vydavatelská úprava publikace. — 2. vyd., opraveno. a další .. - M . : Olma-Press , 2003. - 800 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-224-04565-7 .
↑ Lubitov Yu. N. Van der Waalsova rovnice // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M .: Sovětská encyklopedie , 1988. - T. 1. - S. 240. - 704 s. — 100 000 výtisků.
↑ Anisimov M.A. Van der Waalsova rovnice // Chemická encyklopedie / Ch. vyd. I. L. Knunyants . - M .: " Sovětská encyklopedie ", 1988. - T. 1. - S. 352.
↑ Lopatkin A. A. Van der Waalsova rovnice // Velká sovětská encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov. - M .: "Sovětská encyklopedie", 1971. - T. 4.
↑ Rovnice Bashkirov A. G. Van der Waals // Velká ruská encyklopedie / Ch. vyd. Yu. S. Osipov . - M. , 2006. - T. 4. - S. 579, - 750 s. — 65 000 výtisků. — ISBN 5-85270-333-8 .
↑ Matveev, 1981 .
↑ Matveev, 1981 , str. 245.

Literatura

Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. - M . : Nauka , 1975. - T. II. Termodynamika a molekulární fyzika. — 519 s.
Matveev A. N. Molekulární fyzika. - M . : Vyšší škola, 1981. - S. 237-253. — 400 s.
Atkins, PW a De Paula, J. Physical Chemistry. - WH Freeman, 2010. - svazek 1. - ISBN 9780199593361 .
Ivanov V.K. Kurz obecné fyziky. Molekulární fyzika (nepřístupný odkaz) . Datum přístupu: 6. listopadu 2012. Archivováno z originálu 24. ledna 2010. (neurčitý) (4.1. Interakce molekul plynu. Van der Waalsova rovnice)

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Brockhaus a Efron okolo světa Britannica (online)

Stavová rovnice
Rovnice	ideální plyn Van der Waals Berthelot Diterichi Beatty - Bridgman Redlich - Kwong Peng-Robinson Barner-Adler Sugi - Liu Benedikt - Webb - Rubina Lee - Erbar - Edmister Mi-Gruneisen
Úseky termodynamiky	Základy termodynamiky Stavová rovnice Termodynamické veličiny Termodynamické potenciály Termodynamické cykly Fázové přechody