Podmíněná distribuce

Podmíněné rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení náhodné veličiny za podmínky, že jiná náhodná veličina nabývá určité hodnoty.

Definice

Budeme předpokládat, že je dán pravděpodobnostní prostor . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Diskrétní náhodné proměnné

Nechť a být náhodné proměnné takové, že náhodný vektor má diskrétní rozdělení dané pravděpodobnostní funkcí . Nechť takové to . Pak funkce $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $p_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (Y=y_{0})>0$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y_{0})={p_{X,Y}(x,y_{0} ) \over p_{Y}(y_{0})},\;x\in \mathbb {R} ^{m}

kde je pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny , se nazývá podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny za předpokladu, že . Rozdělení dané podmíněnou pravděpodobnostní funkcí se nazývá podmíněné rozdělení. $p_{Y}$ $Y$ $X$ $Y=y_{0}$

Absolutně spojité náhodné proměnné

Nechť a být náhodné proměnné takové, že náhodný vektor má absolutně spojité rozdělení dané hustotou pravděpodobnosti . Dovolit být takové, že , kde je hustota náhodné veličiny . Pak funkce $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $(X,Y)^{\top }:\Omega \to \mathbb {R} ^{m+n}$ $f_{X,Y}(x,y),\;x\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{n}$ $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ $f_{Y}(y_{0})>0$ $f_{Y}$ $Y$

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})={\frac {f_{X,Y}(x,y_{0})}{f_{Y}(y_{0})}}

se nazývá podmíněná hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny za předpokladu, že . Rozdělení dané podmíněnou hustotou pravděpodobnosti se nazývá podmíněné rozdělení. $X$ $Y=y_{0}$

Vlastnosti podmíněných rozdělení

Podmíněné pravděpodobnostní funkce a podmíněné pravděpodobnostní hustoty jsou pravděpodobnostní funkce, respektive hustoty pravděpodobnosti, to znamená, že splňují všechny nezbytné podmínky. Zejména,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0,\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m},\,y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,
$\sum \limits _{x}p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

$f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\geq 0$ téměř všude _ $\mathbb {R} ^{m+n}$
$\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx=1,\;\forall y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ,

Vzorce celkové pravděpodobnosti jsou platné :

$p_{X}(x)=\součet \limits _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)$ ,
$f_{X}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_{Y}(y)\,dy$ .

Pokud jsou náhodné proměnné a nezávislé , pak se podmíněné rozdělení rovná nepodmíněnému: $X$ $Y$

p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=p_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ^{m}

nebo

f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})=f_{X}(x)

téměř všude na .

\mathbb {R} ^{m}

Podmíněné pravděpodobnosti

Diskrétní náhodné proměnné

If je počitatelná podmnožina , then $A$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\součet \limits _{x\in A}p_{X\mid Y} (x\mid y_{0})

Absolutně spojité náhodné proměnné

Jestliže je borelská podmnožina , pak podle definice vložíme $A\in {\mathcal {B}} (\mathbb {R} ^{m})$ $\mathbb {R} ^{m}$

\mathbb {P} (X\in A\mid Y=y_{0})=\int \limits _{A}f_{X\mid Y}(x\mid y_{0})\,dx

Komentář. Podmíněnou pravděpodobnost na levé straně rovnosti nelze definovat klasickým způsobem, protože . $\mathbb {P} (Y=y_{0})=0$

Podmíněná očekávání

Diskrétní náhodné proměnné

Podmíněné matematické očekávání náhodné proměnné za podmínky se získá součtem s ohledem na podmíněné rozdělení: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\součet \limits _{x}x\,p_{X\mid Y}(x\mid y_{0})

Podmíněné matematické očekávání za podmínky náhodné veličiny je třetí náhodná veličina daná rovností $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Absolutně spojité náhodné proměnné

Podmíněné matematické očekávání náhodné proměnné za podmínky se získá integrací s ohledem na podmíněné rozdělení: $X$ $Y=y_{0}$

\mathbb {E} [X\mid Y=y_{0}]=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}x\,f_{X\mid Y}(x\mid y_{0 })\,dx

Podmíněné matematické očekávání za podmínky náhodné veličiny je třetí náhodná veličina daná rovností $X$ $Y$ $\mathbb {E} [X\mid Y]$

\mathbb {E} [X\mid Y](\omega )=\mathbb {E} [X\mid Y=Y(\omega )],\;\omega \in \Omega

Viz také

Podmíněné očekávání