Podmíněný extrém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Podmíněný extrém - maximální nebo minimální hodnota, které funkce definovaná na množině a nabývající reálných hodnot dosáhne za předpokladu, že hodnoty některých dalších funkcí se stejnou doménou definice podléhají určitým omezujícím podmínkám (pokud existují žádné takové dodatečné podmínky, pak hovoří o bezpodmínečném extrému ) [1] . $G$

Množina může být konkrétně podmnožinou aritmetického vektorového prostoru a výše uvedená omezení mohou být dána jako rovnosti nebo nerovnosti . Níže uvažujeme klasický problém podmíněného extrému , ve kterém jsou všechny podmínky uvedeny ve formě rovnosti, a také Lagrangeův problém , jeden z klasických problémů variačního počtu [1] . $G$ $\mathbb{R} ^{n},$

Výrok klasického problému pro podmíněný extrém

Dovolit je otevřená množina a funkce jsou na ní uvedeny Let ${G\subset \mathbb {R} ^{n))$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\tečky ,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\tečky ,m\,\rbrace .$

Rovnice

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

se nazývají omezující rovnice (terminologie je vypůjčena z mechaniky ).

Nechť je definována i funkce on Bod se nazývá bodem podmíněného extrému dané funkce vzhledem k omezujícím rovnicím, pokud je bodem obvyklého (nepodmíněného) extrému funkce na množině (úprava definice extrému se redukuje na skutečnost, že místo sousedství v , tj . jsou v něm uvažovány sousedství v , pak mají ) [2] . $G$ $y=f_{0}({\vec {x))).$ ${\vec {x}}_{0}\in E$ $(*),$ ${\displaystyle f_{0))$ $E$ $G$ $U_{G}({\vec {x}}_{0})$ $E$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro řešení problému podmíněného extrému

Věta

Předpokládejme, že všechny funkce vyskytující se ve formulaci klasické úlohy pro podmíněný extrém jsou spojitě diferencovatelné a nechť je bodem podmíněného extrému funkce , když jsou splněny omezující rovnice. Pak v tomto bodě jsou gradienty lineárně závislý , tj. ale [3] . ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*).$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\tečky ,m$ $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\tečky ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

Čísla se nazývají Lagrangeovy multiplikátory a jsou definovány až po násobení libovolnou nenulovou konstantou. Nejzajímavější je případ, kdy (pak tím, že vše vynásobíte vhodnou nenulovou konstantou, můžete faktor srovnat a tím jej zcela vyloučit z úvahy). V takové situaci se místo právě formulované věty použije následující důsledek z ní [4] . $\lambda _{i},\,i=0,1,\tečky ,m$ $\lambda _{0}\neq 0$ $\lambda _{{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{0))$ $jeden$

Důsledek

Jestliže je bod podmíněného extrému funkce vzhledem k omezujícím rovnicím a gradienty v něm jsou lineárně nezávislé , pak takové, že v daném bodě V souřadnicovém tvaru je tato vektorová rovnost ekvivalentní splnění rovností ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*),$ $\nabla f_{i},i=1,\tečky ,m$ ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\tečky ,\lambda _{m))$ $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\tečky +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\částečné f_{0}}{\částečné x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\částečné f_{1}}{\částečné x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\tečky +\lambda _{m}{\frac {\částečné f_{ m}}{\částečné x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

kde [3] . $i=1,\tečky ,n$

Rovnostem lze poskytnout následující výklad. Předpokládejme, že tyto rovnosti platí pro čísla, a spojíme je do sloupce Sestavte Lagrangeovu funkci : $(**)$ ${\displaystyle \lambda _{1},\tečky ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda )))=f_{0}({\vec {x)))+\sum _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

kde jsou libovolná čísla. Potom pro , bod je stacionární bod Lagrangeovy funkce a rovnosti lze zapsat jako ${\displaystyle \lambda _{1},\tečky ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\partial L}{\partial x_{1))}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2))}\,=\,\tečky \ ,=\,{\frac {\částečné L}{\částečné x_{n))}\,=\,0\,;

tyto vztahy jsou podmínkami stacionarity bodu , k nimž přičteme omezující rovnice a získáme rovnice pro neznámé [5] [6] . ${\vec {x}}_{0}.$ $(*),$ $n+m$ $n+m$ ${\displaystyle x_{1},\tečky ,x_{n},\lambda _{1},\tečky ,\lambda _{m))$

Příklad. Najděte strany obdélníku o maximální ploše vepsaného do kruhu. Zde Složení Lagrangeovy funkce $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $n=2,$ $m=1,$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

a zapsání podmínek pro jeho stacionaritu v bodě podmíněného extrému

{\frac {\partial L}{\partial x))\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y)) \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

najdeme: a (obdélník o maximální ploše se ukázal jako čtverec ) [6] . $\lambda =-2$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

Postačující podmínka pro podmíněný extrém

Jsou-li splněny rovnosti pro a zároveň (dodatečně se předpokládá, že v bodě jsou všechny funkce vyskytující se ve formulaci klasické úlohy pro podmíněný extrém dvakrát spojitě diferencovatelné) je negativní (pozitivní) definitní kvadratická forma proměnné, pak je to bod striktního podmíněného maxima funkce (striktní podmíněné minimum pro kladně definitní formu). Pokud uvažovaná kvadratická forma není znaménkově určitá, pak neexistuje žádný podmíněný extrém [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\tečky ,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$

The Lagrange problem

Tento problém patří do variačního počtu a je jedním z možných zobecnění klasického problému pro podmíněný extrém. V Lagrangeově problému je potřeba najít spojitě diferencovatelnou funkci danou segmentu a doručující extrém (maximum nebo minimum) funkčnímu ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$ $[t_{0},t_{1}]$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\tečka {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(tečka označuje operaci derivace vzhledem k ) za pevných okrajových podmínek a splnění omezujících rovnic $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\tečka {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

kde [8] [9] . $i=1,2,\tečky ,m$

V tomto problému je také použitelná metoda Lagrangeových multiplikátorů. Za předpokladu, že omezující rovnice jsou nezávislé, zavádíme neznámé funkce v úvahu a redukujeme původní problém na neomezený optimalizační problém, přičemž integrand nahradíme funkcí. $m$ $\lambda _{1}(t),\tečky ,\lambda _{m}(t)$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\tečka {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\tečka {\vec {x}} }(t))\,;

jako obdoba rovnosti (tj. v roli nutných podmínek pro extrém) nyní působí Euler-Lagrangeovy rovnice , které mají v posuzovaném případě tvar $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\tečka {x}}_{k}}}- {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k))}\,=\,0\,,

kde Z těchto obyčejných diferenciálních rovnic doplněných o omezující rovnice lze najít (s přihlédnutím k existujícím okrajovým podmínkám) neznámé funkce [10] . $k=1,2,\tečky ,n.$ $n$ $n+m$ $x_{1}(t),\tečky ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\tečky ,\lambda _{m}(t)$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Podmíněný extrém // Matematická encyklopedie. T. 5 / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Archivní kopie ze dne 17. listopadu 2020 u Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , str. 92-93.
↑ 1 2 Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , str. 96.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , str. 48.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , str. 96-97.
↑ 1 2 Korn a Korn, 1978 , str. 336.
↑ Kudryavtsev, vol. 2, 1981 , str. 110.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , str. 40-41, 80-81.
↑ Korn a Korn, 1978 , s. 346-349.
↑ Korn a Korn, 1978 , s. 348-349.

Literatura

Alekseev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. Optimální ovládání. — M .: Nauka , 1979. — 432 s.
Korn G., Korn T. . Příručka matematiky pro vědce a inženýry. 4. vyd. — M .: Nauka , 1978. — 832 s.
Kudrjavcev L. D. . Kurz matematické analýzy. T. 2. - M. : Vyšší škola , 1981. - 584 s.