Filtrování (náhodné procesy)

Filtrování v teorii náhodných procesů je neklesající rodina σ-algeber .

Definice

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a podmnožina číselné osy . Rodina σ-algeber taková, že $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $T\subset \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$

{\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad \forall s\leq t,\;s,t\in T,

se nazývá filtrování pravděpodobnostního prostoru . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Nechť je dán náhodný proces definovaný na nějakém pravděpodobnostním prostoru. Pojďme definovat $\{X_{t}\}_{t\in T}$

{\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.

Potom je tato rodina filtrací a nazývá se přirozená filtrace náhodného procesu . $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{{t\in T}}$ $\{X_{t}\}$