Formální diferenciace

Formální diferenciace je operace na prvcích kruhu polynomů nebo kruhu formálních mocninných řad , přičemž se opakuje derivace z matematické analýzy , ale není založena na představě limity , kterou nelze definovat pro libovolný kruh . Mnoho vlastností derivace platí také pro formální diferenciaci, ale některé, zejména ty, které se týkají výroků zahrnujících čísla, nejsou pravdivé. Jednou z důležitých aplikací formálního derivování v algebře je kontrola násobnosti kořenů polynomů.

Definice

Definice formální diferenciace je následující: fix a ring (ne nutně komutativní), nechť je polynomial ring over . Pak je formální diferenciace působením na prvky , ve kterém pokud $R$ $A=R[x]$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

pak formální derivát je

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

jako v případě polynomů nad reálnými nebo komplexními čísly.

Všimněte si, že výraz neznamená násobení v kruhu, ale tam, kde se nepoužívá pod znakem součtu. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Je třeba poznamenat, že pro nekomutativní kruhy tato definice naráží na následující obtíž: samotný vzorec je správný, ale ne každý polynom může být reprezentován ve standardním tvaru. Použití takové definice vede k potížím při dokazování vzorce . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Alternativní definice vhodné pro nekomutativní kruhy

Nechť je pravda nechť také Definujte derivaci pro výrazy typu a $r\in R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Dokažme, že taková definice poskytne stejný výsledek pro výraz, bez ohledu na způsob, jakým je získána, proto je definice kompatibilní s axiomy rovnosti.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

$((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b 'c)+(ac'+bc')=$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

Linearita vyplývá z definice.

Vzorec pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní kruhy) je důsledkem definice: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\součet _{i}(0x^{i}+a_{i}(\součet _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\součet _{i}\součet _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -jeden}.$

Vlastnosti

Lze dokázat řadu následujících tvrzení.

Formální diferenciace je lineární: pro libovolné dva polynomy a prvky z $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Pokud je nekomutativní, existuje další druh vlastnosti linearity, ve které a jsou umístěny vpravo. Pokud ve vzorci není žádný prvek identity, pak se vzorec neredukuje do tvaru součtu polynomů nebo součtu jednoho polynomu a násobku jiného polynomu.

R

r

s

R

Pro formální rozlišení je splněno pravidlo produktu :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Všimněte si důležitosti pořadí faktorů v případě nekomutativního kruhu .

R

Dvě dané vlastnosti z něj dělají odvození algebry . $D$ $A$

Aplikace

Derivace umožňuje určit přítomnost více kořenů: pokud se jedná o pole, pak je to euklidovský kruh , pro který lze definovat pojem multiplicita kořenů; pro polynom a prvek odtud existuje nezáporné celé číslo a polynom takový, že $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $pan}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

kde není totéž . Stupeň ukazuje násobnost jako odmocninu . Z pravidla součinu vyplývá i počet aplikací operace diferenciace, které lze provést, dokud nepřestane být kořenem zbývajícího polynomu. Navzdory skutečnosti, že ne každý polynom stupně v má kořeny, s přihlédnutím k násobnosti (toto je pouze maximální počet), můžete pokračovat v rozšíření pole , ve kterém je toto tvrzení pravdivé (viz algebraický závěr ). Po přechodu do rozšíření pole může existovat také více kořenů, které nejsou kořeny nad . Pokud je například pole se třemi prvky, pak polynom $GR)$ $0$ $pan}$ $r$ $F$ $pan}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

nemá kořeny v ; ale formální derivace je nula, protože 3 = 0 v a v jakémkoli rozšíření , takže při přechodu na algebraický uzávěr najdeme násobný kořen, který nelze najít v . Pojem mnohosti, definovaný formální diferenciací, lze tedy efektivně ověřit. To se ukázalo být obzvláště důležité v Galoisově teorii , která umožňuje rozlišovat mezi oddělitelnými a neoddělitelnými rozšířeními pole. $R$ $R$ $R$ $R$

Korespondence analytických derivátů

Pokud je kruh čísel komutativní, pak existuje další ekvivalentní definice formální derivace, která připomíná definici z analýzy. Prvek kruhu je dělitelem pro jakékoli nezáporné celé číslo , a proto je dělitelem pro jakýkoli polynom . Označme kvocient (v ) jako : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $F$ $R[X,Y]$ $G$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

pak je snadné dokázat, že (v ) se shoduje s formální definicí derivátu uvedenou výše. $g(X,X)$ $R[X]$ $F$

Taková definice derivace je vhodná pro formální mocninné řady za předpokladu, že skalární kruh je komutativní.

Poznámky

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (revidované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, mohl byste zjednodušit počet, arXiv:0905.3611v1