Plückerův vzorec

Plückerův vzorec je jedním z řady vzorců vyvinutých německým matematikem a fyzikem Plückerem ve 30. letech 19. století. Vzorce spojují některé invarianty algebraických křivek a invarianty jejich duálních křivek. Invariant zvaný rod , který je společný jak křivce, tak její duální křivce, souvisí s jinými invarianty pomocí podobných vzorců. Tyto vzorce a skutečnost, že každý z těchto invariantů musí být kladné celé číslo, ukládá přísná omezení na možné hodnoty invariantů.

Plückerovy invarianty a základní rovnice

Křivka v tomto kontextu je dána nedegenerovanou algebraickou rovnicí v komplexní projektivní rovině . Čáry v této rovině odpovídají bodům v duální projektivní rovině , zatímco přímky tečné k dané algebraické křivce C odpovídají bodům na algebraické křivce C * , nazývané duální křivka . Body křivky C odpovídají přímkám tečným k C * , takže duální křivka pro C * je C .

První dva invarianty zahrnuté v Plückerových vzorcích jsou stupeň d křivky C a stupeň d * , nazývaný třída křivky C. Geometricky je d počet průsečíků libovolné úsečky a C , včetně komplexních bodů a bodů v nekonečnu, přičemž se bere v úvahu násobnost. Třída d * je počet tečen k C procházejících libovolným bodem v rovině. Kuželosečka má například stupeň i třídu 2. Pokud křivka C nemá žádné singulární body , Plückerův první vzorec říká, že

d^{*}=d(d-1),

ale pro křivky se singulárními body je třeba vzorec opravit.

Nechť δ je počet obyčejných dvojitých bodů křivky C , to znamená, že mají různé tečny (takové body se nazývají samoprůnikové body ) nebo izolované , a κ počet vrcholů , tj. bodů majících jeden tečna. Pokud má křivka C singularity vyššího stupně, pak jsou podle analýzy povahy singularity považovány za několik singulárních bodů. Například běžný trojitý bod se počítá jako tři dvojité body. Opět se počítají i pomyslné body a body v nekonečnu. Rafinovaná podoba první Plückerovy rovnosti má podobu

d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .

Podobně nechť δ * je počet obyčejných dvojitých bodů a κ * je počet vrcholů křivky C * . Říká to druhý Plückerův vzorec

\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .

Geometricky obyčejný dvojitý bod křivky C * je přímka tečná ke křivce ve dvou bodech ( bitangental ) a vrchol křivky C * je inflexní bod .

První dvě Plückerovy rovnice mají dvojí verze:

d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},

\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.

Tyto čtyři rovnosti ve skutečnosti nejsou nezávislé, takže k odvození čtvrté lze použít libovolné tři. Jsou-li uvedeny jakékoli tři ze šesti invariantů d , d * , δ, δ * , κ a κ * , lze z nich vypočítat zbývající tři.

Nakonec lze pomocí vzorce určit geometrický rod křivky C

g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .

Tato rovnost je ekvivalentní duálu

g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}

Celkem máme čtyři nezávislé rovnice se sedmi neznámými a při daných třech neznámých lze zbývající čtyři vypočítat.

Křivky bez speciálních bodů

Důležitým speciálním případem je situace, kdy křivka C nemá žádné singulární body, to znamená, že δ a κ jsou rovny 0, takže zbývající invarianty lze vypočítat pouze z hlediska d :

d^{*}=d(d-1)

\delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)

\kappa ^{*}=3d(d-2)

g={1 \over 2}(d-1)(d-2).

Například plochá kvartika bez singulárních bodů má rod 3, 28 bitangentů a 24 inflexních bodů.

Typy křivek

Křivky jsou klasifikovány do typů podle jejich Plückerových invariantů. Plückerovy rovnice spolu s omezením, že invarianty musí být přirozená čísla, výrazně omezují počet možných typů křivek daného stupně. Projektivně ekvivalentní křivky musí být stejného typu, ale křivky stejného typu obecně nejsou projektivně ekvivalentní. Křivky stupně 2 - kuželosečky - mají jediný typ, daný rovností d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.

Pro křivky stupně 3 jsou možné tři typy s invarianty [1]

Typ	d	d *	5	κ	* _	G
(i)	3	6	0	0	9	jeden
(ii)	3	čtyři	jeden	0	3	0
(iii)	3	3	0	jeden	jeden	0

Křivky typů (ii) a (iii) jsou racionální kubické křivky s obyčejným dvojitým bodem a vrcholem. Křivky typu (i) nemají singulární body ( eliptické křivky ).

Pro křivky stupně 4 existuje 10 možných typů s invarianty [2]

Typ	d	d *	5	δ *	κ	* _	G
(i)	čtyři	12	0	28	0	24	3
(ii)	čtyři	deset	jeden	16	0	osmnáct	2
(iii)	čtyři	9	0	deset	jeden	16	2
(iv)	čtyři	osm	2	osm	0	12	jeden
(proti)	čtyři	7	jeden	čtyři	jeden	deset	jeden
(vi)	čtyři	6	0	jeden	2	osm	jeden
(viii)	čtyři	6	3	čtyři	0	6	0
(viii)	čtyři	5	2	2	jeden	čtyři	0
(ix)	čtyři	čtyři	jeden	jeden	2	2	0
(X)	čtyři	3	0	jeden	3	0	0

Poznámky

↑ Harold Hilton. Rovinné algebraické křivky. - Oxford, 1920. - S. 201.
↑ Hilton, s. 264

Odkazy

Griffiths F., Harris J. Principy algebraické geometrie. - 1982. - T. 1-2, per. z angličtiny..
Kleiman S.L. Matematický úspěch. vědy. - 1980. - T. 35 , no. 6 . - S. 69-148 .
Savelov A.A. Ploché křivky. Systematika, vlastnosti, aplikace. - Moskva: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1960.
Losos, George . Pojednání o křivkách vyšších rovin , 1879, str. 64ff.