Duální křivka

Dvojitá křivka (nebo duální křivka ) k dané křivce na projektivní rovině je křivka na duální projektivní rovině , sestávající z tečen k dané hladké křivce. V tomto případě se křivky nazývají vzájemně duální (duální) . Koncept lze zobecnit na nehladké křivky a na vícerozměrný prostor.

Dvojité křivky jsou geometrickým vyjádřením Legendreovy transformace v hamiltonovské mechanice .

Dvojitá projektivní rovina

Body a čáry na projektivní rovině hrají vůči sobě symetrické role: pro jakoukoli projektivní rovinu lze uvažovat o dvojí projektivní rovině , ve které jsou body podle definice liniemi původní roviny . V tomto případě budou body odpovídat čarám roviny a vztah dopadu bude stejný až do permutace argumentů. $P$ $P^*$ $P$ $P^*$ $P$

Definice

Nechť je dána hladká křivka na projektivní rovině . Uvažujme množinu všech jejích tečen . Tuto množinu lze považovat za množinu bodů v duální rovině . Vytvoří křivku (ne nutně hladkou) v , která se nazývá duál [ 1 ] . $C$ $P$ $C^{*}$ $P^*$ $P^*$ $C$

Kvůli symetrii mezi prostorem a duálním prostorem bude křivka duální ke křivce v (tj. rodina čar s jedním parametrem v ) křivkou v . Tato křivka se nazývá obálka rodiny čar [2] . $P^*$ $P$ $P$

Příklad

Uvažujme elipsu danou rovnicí (viz obrázek). Tečny k němu budou přímky dané rovnicemi , kde . Křivka duální k této elipse je tedy dána rovnicí v souřadnicích , . $(x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1$ $\alpha x+\beta y=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $(2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1$ $\alpha$ $\beta$

Vlastnosti

Dvojité křivky mají následující vlastnosti [1] [3] :

Křivka duální k duální křivce bude původní křivka: . $(C^{*})^{*}=C$
Pokud je původní křivka křivkou druhého řádu , pak bude křivka s ní duální také druhého řádu.
Každá dvojitá tečna (tj. tečna ke dvěma bodům) původní křivky odpovídá bodu vlastního průsečíku duální křivky.
Každý inflexní bod původní křivky odpovídá vrcholu duální křivky.

Vztah s Legendreovými transformacemi

Dvojité křivky jsou aplikovány k popisu Legendreových transformací v Hamiltonovské mechanice . Legendreova transformace je totiž přechod z křivky na duální křivku, zapsaný v afinních souřadnicích . To je způsobeno následující vlastností: graf přísně konvexní funkce je duální s grafem Legendreovy transformace pro tuto funkci [1] .

Parametrizace

Pro parametricky definovanou křivku je duální křivka definována rovnicemi [4] :

X={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Zobecnění

Nehladké křivky

Pojem duality lze zobecnit pro přerušované čáry a obecně pro nehladké křivky, pokud místo tečen uvažujeme podpůrné čáry . Čára v rovině se nazývá referenční čára ke křivce, pokud obsahuje bod křivky, ale celá křivka leží v jedné polorovině od této přímky. U hladkých křivek je jedinou referenční čárou procházející daným bodem křivky tečna k této křivce. Můžeme tedy zobecnit koncepty duality pro nehladké křivky: duál křivky k libovolné křivce je množina jejích podpůrných čar.

Sada podpěrných čar pro křivku tvoří také křivku: podpěrné čáry procházející vrcholy původní křivky tvoří segment duální roviny. Tato přerušovaná čára se nazývá dvojitá přerušovaná čára . Jeho vrcholy jsou získány ze segmentů původní křivky [1] . Konkrétně duál mnohoúhelníku je mnohoúhelník nazývaný duální mnohoúhelník .

Duální hyperpovrch

Pojem duality lze také zobecnit na projektivní prostor libovolné dimenze. Duální projektivní prostor je prostor sestávající z nadrovin původního prostoru.

Pro danou konvexní hyperplochu v projektivním prostoru se množina nadrovin podporujících tuto hyperplochu nazývá duální hyperplocha [1] .

Příklady

Nechť je dán kruh, daný v nějakém souřadnicovém systému rovnicí . Tečna ke kružnici v bodě , kde , je přímka . Souřadnice této čáry v duálním souřadnicovém systému budou dvojice . Duální křivka ke kružnici tedy bude množinou bodů duální křivky se souřadnicemi , kde , tedy opět kružnice. $x^{2}+y^{2}=1$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$ $ax+by=1$ $(a,b)$ $(a,b)$ $a^{2}+b^{2}=1$

V obecnějším případě, pokud je norma dána v prostoru , pak v duálním prostoru lze uvažovat o duální normě . Každý bod v prostoru odpovídá nadrovině dané rovnicí . Ukazuje se, že povrchový konjugát k jednotkové sféře v prostoru (ve smyslu dané normy) je duální k jednotkové sféře v duálním prostoru ve smyslu konjugované normy [1] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $p$ ${\mathbb {R} ^{n}}^{*}$ $px=1$ $\mathbb {R} ^{n}$

Takže například krychle je „koule“ ve smyslu jednotné normy ( ). Konjugovaná norma je -norma . Proto povrch duální ke kostce by byl "koule" v , to jest oktaedr . $L^{\infty }$ $L^{\infty }$ $L^1$ $L^1$

Navíc duální povrch k polytopu bude duální polytop .

Viz také

Obálka

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 Vladimír Arnold. Geometrické metody v teorii obyčejných diferenciálních rovnic . Litr, 2015-02-21. - S. 32-33. — 379 s. — ISBN 9785457718326 .
↑ Sergej Lvovskij. Rodiny čar a Gaussova zobrazení . — Litry, 2015-06-27. - S. 5. - 39 s. — ISBN 9785457742048 .
↑ Vladimír Arnold. Obyčejné diferenciální rovnice . Litr, 2015-02-21. - S. 120. - 342 s. — ISBN 9785457717886 .
↑ Evgueni A. Tevelev. Projektivní dualita a homogenní prostory . — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. - S. 2. - 272 s. — ISBN 9783540228981 .

Diferenciální transformace křivek v rovině
Paralelní křivka Evoluce Evolventní Podera antipodera Dvojitá křivka

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius