Lp (mezera)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. května 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

$L^{p}$ (označení se také nachází ; čte se "el-pe"; také - Lebesgueovy prostory ) - jedná se o prostory měřitelných funkcí tak, že jejich tý stupeň je integrovatelný , kde . $L_{p}$ $p$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ je nejdůležitější třídou Banachových prostorů . (vyslovuje se „el-dva“) je klasickým příkladem Hilbertova prostoru . $L^{2}$

Konstrukce

Prostory se používají ke konstrukci prostorů . Prostor pro prostor s mírou a je množina měřitelných funkcí definovaných na tomto prostoru tak, že: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Jak vyplývá z elementárních vlastností Lebesgueova integrálu a Minkowského nerovnosti , prostor je lineární . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

V lineárním prostoru je zavedena seminorma : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

Nezápornost a homogenita vyplývají přímo z vlastností Lebesgueova integrálu a Minkowského nerovnost je trojúhelníková nerovnost pro tuto polonormu [1]

Dále zavedeme vztah ekvivalence : , jestliže téměř všude . Tento vztah rozděluje prostor na neprotínající se třídy ekvivalence a seminormy libovolných dvou zástupců stejné třídy se shodují. Na sestrojený kvocientový prostor (tj. rodina tříd ekvivalence) lze zavést normu rovnou seminormě kteréhokoli zástupce této třídy. Z definice jsou zachovány všechny axiomy seminormy a navíc na základě výše uvedené konstrukce platí i pozitivní definitivnost. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Podílový prostor s normou postavenou na něm a nazývá se prostor nebo jednoduše . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Nejčastěji je tato konstrukce míněna, ale není výslovně zmíněna, a prvky nejsou třídy ekvivalence funkcí, ale funkce samotné, definované „až do nulové míry“. $L^{p}$

Když netvoří normovaný prostor, protože trojúhelníková nerovnost neplatí [2] , tvoří metrické prostory . V těchto prostorech nejsou žádné netriviální lineární spojité operátory . $0<p<1$ $L^{p}$

Úplnost

Norma spolu s lineární strukturou generuje metriku: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

a proto je možné definovat konvergenci na prostorech: posloupnost funkcí se nazývá konvergující k funkci , pokud: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\in L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\na 0

v .

n\to\infty

Podle definice je prostor úplný, když jakákoli základní posloupnost konverguje k prvku stejného prostoru. Toto je Banachův prostor . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Prostor L²_

V tomto případě je norma generována vnitřním produktem . Spolu s pojmem „délka“ zde tedy dává smysl i pojem „úhel“, a tedy související pojmy, jako je ortogonalita , projekce . $p=2$

Skalární součin na prostoru je zaveden následovně: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

pokud uvažované funkce mají komplexní hodnotu, nebo:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

pokud jsou skutečné. Pak evidentně:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

to znamená, že norma je generována skalárním součinem. S ohledem na úplnost všech , z toho vyplývá, že jde o Hilberta . $L^{p}$ $L^{2}$

Mezerník L ∞

Prostor je konstruován z prostoru měřitelných funkcí, ohraničeného téměř všude, tím, že mezi sebou identifikujeme funkce, které se liší pouze na množině nulové míry, a definujíc: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, kde je podstatné supremum funkce.

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ je Banachův prostor .

Metrika generovaná normou se nazývá jednotná . Konvergence generovaná takovou metrikou se také nazývá: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\to f

v , pokud v .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0

n\to\infty

Vlastnosti

Konvergence funkcí téměř všude neznamená konvergenci v prostoru . Nechte pro a pro , . Pak skoro všude. Ale . Opak také neplatí. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\v L^{p}$ $f_{n}\na 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Pokud pro , pak existuje podsekvence taková, že téměř všude. $\|f_{n}-f\|_{p}\na 0$ $n\to\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\to f$
$L^{p}$ funkce na reálném řádku lze aproximovat hladkými funkcemi. Dovolit být podmnožinou nekonečně hladkých funkcí. Pak je všude husto v . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}} (\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}} (\mathbb {R} ),\;m)$ je oddělitelný pro . $p<\infty$
Jestliže je konečná míra, například pravděpodobnost , a , pak . Konkrétně, to znamená, že náhodná veličina s konečným druhým momentem má konečný první moment. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\subset L^{p}$ $L^{2}\podmnožina L^{1}$

Dvojité mezery

Pro prostory dual to (prostory lineárních funkcionálu na ) platí následující vlastnost: if , then isomorphic to ( ), where . Libovolný lineární funkcionál na má tvar: $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

kde . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

Vzhledem k symetrii rovnice je samotný prostor duální (až do izomorfismu) , a proto: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Tento výsledek platí i pro případ , tj . Nicméně, a zejména, . $p=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty }\right)^{\star }\ne \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\ne \cong L^{1}$

Mezery ℓ p

Nechť , kde je spočetná míra na , tj . Pak if , pak prostor je rodina sekvencí tvaru , takže: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\vpravo)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\vpravo)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

V souladu s tím je norma na tento prostor dána

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p }}

Výsledný normovaný prostor je označen . $\ell ^{p}$

Jestliže , pak se uvažuje prostor ohraničených posloupností s normou: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

Výsledný prostor se nazývá , je to příklad neoddělitelného prostoru. $\ell ^{\infty }$

Stejně jako v obecném případě, nastavením získáme Hilbertův prostor, jehož normu generuje skalární součin: $p=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\součet _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

pokud mají sekvence komplexní hodnotu, a:

\langle x,\;y\rangle =\součet _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

pokud jsou skutečné.

Prostor konjugovaný k , kde je izomorfní k , . Pro . Nicméně . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\star }\not \cong \ell ^{1}$

Poznámky

↑ Takto zavedená seminorma není normou , protože když skoro všude , tak , což odporuje požadavkům na normu. Pro transformaci prostoru se seminormou na prostor s normou je nutné „identifikovat“ funkce, které se od sebe liší pouze na množině nulové míry . $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Přesněji řečeno platí inverzní trojúhelníková nerovnost - když : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\vpravo) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - ed. čtvrtý, revidovaný. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.