Plochá křivka čtvrtého stupně

Plochá křivka čtvrtého stupně nebo plochá kvartika je plochá algebraická křivka čtvrtého stupně . Lze ji určit rovnicí čtvrtého stupně ve dvou proměnných:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

kde alespoň jedno z čísel A, B, C, D, E je nenulové. Tato rovnice má 15 konstant. Rovnici však lze vynásobit libovolnou nenulovou konstantou beze změny křivky. Vhodnou volbou multiplikační konstanty lze tedy libovolný koeficient učinit rovný 1, zbude pouze 14 konstant. Kvartický prostor lze tedy identifikovat se skutečným projektivním prostorem . Z Cramerovy věty o algebraických křivkách také vyplývá , že existuje právě jeden kvartik procházející 14 různými body v obecné poloze , protože kvartika má 14 stupňů volnosti . $\mathbb {RP} ^{14}$

Litr může mít max

čtyři spojené komponenty
dvacet čtyři bitangent
tři obyčejné dvojité tečky .

Jeden může zvažovat quartic křivky přes jiná pole (nebo dokonce prsteny ), takový jako komplexní čísla . V druhém případě se získá Riemannovy povrchy , které jsou jednorozměrné přes C , ale dvourozměrné přes R. Příkladem je Kleinova kvarta . Kromě toho lze uvažovat křivky v projektivní rovině , dané homogenními polynomy.

Příklady

Různé kombinace koeficientů ve výše uvedené rovnici vytvářejí různé důležité skupiny křivek, které jsou uvedeny níže.

Lemniscate
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
Pascalův šnek
Quartic Lurot
Perseova křivka
Hranatost
- Lame special quartic
torická sekce
Trottova křivka

Ampersand (křivka)

Ampersandová křivka je kvartická rovinná křivka s rovnicí

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Křivka má rod nula se třemi obyčejnými dvojitými body na skutečné rovině. [jeden]

Bob (křivka)

Bob křivka je rovinná křivka 4. stupně s rovnicí

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bob má rod nula. Křivka má na počátku jednu singularitu , obyčejný trojný bod [2] . [3]

Dvě křivky

Dvojitá křivka je plochá křivka 4. stupně s rovnicí

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

kde a definuje velikost křivky. Dvouhrotová křivka má pouze dva uzlové body jako singularity, a proto je křivkou rodu jedna [4] .

Luk (křivka)

Úklon je rovinná křivka 4. stupně s rovnicí

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bant má jeden trojný bod u x =0, y =0, a proto je racionální křivka rodu nula [5] .

Křížová křivka

Křížová nebo křížová křivka je rovinná křivka 4. stupně daná rovnicí

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

kde a a b jsou dva parametry , které určují tvar křivky. Křížová křivka je spojena standardní kvadratickou transformací x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y s elipsou , a je tedy racionální rovinnou algebraickou křivkou rodu nula. Křížová křivka má tři dvojité body ve skutečné projektivní rovině v bodech x = 0 a y = 0, x = 0 az = 0, y = 0 az = 0. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Protože je křivka racionální, lze ji parametrizovat racionálními funkcemi. Například, pokud a =1 ab =2, pak rovnice

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 {2t-2}}

definovat parametrizaci bodů na křivce, kromě výjimečných případů, kdy jmenovatel zmizí.

Spirálová sekce

Spirálový řez lze definovat jako dvoukruhovou křivku čtvrtého stupně, symetrickou podle os x a y . Spirálové řezy jsou zahrnuty do rodiny torických řezůa obsahují rodinu BoothlemniscatesaCassini rodinu oválů. Název pochází z řeckého slova σπειρα, což znamená torus.

V kartézských souřadnicích lze rovnici zapsat

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

a v polárních souřadnicích jako

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Trojlístek

Třílistý jetel je plochá křivka 4. stupně

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Řešením rovnice pro y dostaneme následující funkci

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

kde jsou dvě znaménka na sobě nezávislá a dávají až čtyři různé hodnoty y pro každé x . $\odpoledne$

Parametrická rovnice pro trojlístek je

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

V polárních souřadnicích ( ) má rovnice tvar $x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )$

r=\cos(3\varphi ).\,

Křivka je speciálním případem růže s k = 3. Tato křivka má v počátku trojitý bod (0, 0) a má tři dvojité tečny.

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Ampersand Curve na webu Wolfram MathWorld .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , str. 72.
↑ Weisstein, Eric W. Bean Curve na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Bicuspid Curve na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Bow na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Kruciformní křivka na webu Wolfram MathWorld .
↑ Gibson, 2001 , str. 12, 78.

Literatura

Cundy HM, Rollett AP Matematické modely. — 2. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - S. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Elementární geometrie algebraických křivek, vysokoškolský úvod. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - S. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .