Trubicový vzorec

Trubkový vzorec nebo Weylův vzorec je výraz pro sousedství objemu podvariety jako polynom v . Navrhl Hermann Weil . $r$ $r$

Formulace

Nechť uzavřená- dimenzionální subvarieta v - dimenzionálním euklidovském prostoru je kodimenze . $M$ $m$ $n$ $k=nm$ $M$

Označte -neighborhood . Pak pro všechny dostatečně malé kladné hodnoty rovnost $Pan$ $r$ $M$ $r$

V(M_{r})=\omega _{k}\cdot r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)))),

kde je objem , je objem jednotkové koule v- rozměrném euklidovském prostoru. a $V(M_{r})$ $Pan$ $\omega_{k}$ $k$

V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )

pro nějaký homogenní polynom stupně ; zde označuje tenzor zakřivení . $p_{i}$ $i$ $\mathrm {Rm}$

Výrazem je tzv. Lipschitz-Killingova křivost , je úměrná průměrnému Pfaffianu tenzoru křivosti přes všechny -dimenzionální podprostory tečného prostoru. $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ $(2\cdot i)$

Poznámky

Nejnižší nenulový koeficient je -rozměrný objem . $V_{0}(M)$ $m$ $M$
Pokud je rozměr sudý , pak $M$ $m=2\cdot k$ $V_{k}=\chi (M),$

kde je Eulerova charakteristika .

\chi (M),

M

Důsledky

Objem -okolí jednoduché uzavřené hladké křivky v -rozměrném euklidovském prostoru pro malé je vyjádřen vzorcem $r$ ${\displaystyle \gamma _{r))$ $\gamma$ $n$ $r$ $V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

kde označuje délku .

L(\gamma )

\gamma

Pro hladké uzavřené povrchy v 3-rozměrném euklidovském prostoru platí rovnost $M$ $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$
Pokud jsou dvě podvariety eucidovského prostoru izometrické, pak jsou objemy jejich sousedství stejné pro všechny malé kladné . $r$ $r$

Variace a zobecnění

Vzorec polotrubice pro hyperplochy vyjadřuje objem jednostranného sousedství , je to také polynom v , ale ne všechny koeficienty závisí na vnitřním zakřivení. Zejména pro povrchy v trojrozměrném prostoru má formu polotrubice $r$ ${\displaystyle M_{r}^{+))$ $r$ $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{ \tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

kde označuje střední zakřivení .

H

Viz také

Literatura

Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (anglicky) // American Journal of Mathematics. - 1939. - Sv. 61 , č. 2 . - str. 461-472 .
Simon Willerton, Intrinsic Volumes a Weyl's Tube Formula