Zobecněný Gauss-Bonnetův vzorec

Zobecněný Gauss-Bonnetův vzorec je integrální vzorec vyjadřující Eulerovu charakteristiku uzavřené sudorozměrné Riemannovy variety z hlediska jejího zakřivení. Jedná se o přímé zobecnění Gauss-Bonnetova vzorce do vyšších dimenzí.

Historie

Zobecněný Gauss-Bonnetův vzorec byl prokázán nezávisle a téměř současně Weilem [1] a Allendorferem [2] pro uzavřené Riemannovy variety připouštějící izometrické vnoření v euklidovském prostoru. (Myšlenkou důkazu bylo vypočítat stupeň Gaussova mapování hyperpovrchu tvořeného hranicí malého tubulárního okolí daného subvariety.) V tomto bodě nebylo známo, zda všechny manifoldy umožňují takové vložení — Nashův teorém o pravidelném vkládání byl prokázán až v roce 1956.

V roce 1945 Chern [3] zobecnil vzorec na případ všech Riemannových variet.

Formulace

Dovolit být kompaktní orientable 2 n - rozměrný Riemannian varieta bez hranice, a být jeho tvar zakřivení . Všimněte si, že na tvar lze nahlížet jako na šikmo symetrickou matici, jejíž složky jsou 2 tvary na . Konkrétně jde o matici nad komutativním kruhem $M$ $\Omega$ $\Omega$ $M$ $\Omega$

\bigwedge \nolimits ^{\text{even}}T^{*}M.

Proto můžete vypočítat jeho Pfaffian , což je 2 n -forma. $\operatorname {Pf} (\Omega )$

Zobecněný Gauss-Bonnetův vzorec lze zapsat jako

\int \limits _{M}\operatorname {Pf} (\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)

kde označuje Eulerovu charakteristiku . $\chi (M)$ $M$

Příklady

V dimenzi 2 se vzorec změní na obvyklý Gauss-Bonnetův vzorec
V dimenzi čtyři lze vzorec přepsat následujícím pohodlným způsobem: $\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \limits _{M}\left(|\mathrm {Rm} |^{2}-4| \mathrm {Rc} |^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)d\mu$ ,

kde je tenzor úplného zakřivení , je Ricciho tenzor a je skalární zakřivení .

\mathrm {Rm}

\mathrm {Rc}

{\mathrm {R}}

Viz také

Poznámky

↑ Weyl H. O objemu trubek. Amer J Math, 61: 461–472 (1939)
↑ Allendoerfer C B. Eulerovo číslo Riemannovy variety. Amer J Math, 62:243–248
↑ Chern , Shiing-Shen (1945), On the curvatura integra in Riemannian manifold , Annals of Mathematics vol. 46(4): 674–684 , DOI 10.2307/1969203