Nashova věta o pravidelném vkládání

Nashův teorém pravidelného vkládání , někdy nazývaný základní teorém Riemannovy geometrie , je tvrzení, že nějaká Riemannovská varieta připouští hladké vložení do euklidovského prostoru dostatečně vysoké dimenze. Formálně jakákoli - dimenzionální Riemannovská varieta třídy , , připouští izometrické vložení do pro dostatečně velké . $m$ $(V^{m},\;g)$ $C^{r}$ $3\leqslant r\leqslant \infty$ $C^{r}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Založený americkým matematikem Johnem Nashem , Nash také poskytl explicitní odhad , který byl později několikrát vylepšen, zejména teorém platí pro [1] . $n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2$ $n\geqslant m^{2}+10m+3$

Důkaz představil novou metodu řešení diferenciálních rovnic, tzv. Nash-Moserovu větu původně dokázanou Nashem. Výrazné zjednodušení důkazu přinesl Matthias Günther . [2]

Variace a zobecnění

Nash-Kuiperova věta je podobným výsledkem pro -smooth embeddings. $C^1$
Podobná věta pro pseudo-Riemannovské variety vyplývá z Nashovy věty, ale lze ji dokázat bez použití Nash-Moserovy věty . Izometrické vnoření v pseudoeuklidovském prostoru je možné sestrojit pouze pomocí Nashových zvratů.
Jakékoli hladké kompaktní Finslerovo potrubí s přísně konvexními normami umožňuje izometrické zabudování do konečného- dimenzionálního Banachova prostoru . [3] .
Podobný výsledek je platný pro analytická vložení, také založená Nashem , ale mnohem později [4] .
Pozniakův teorém říká, že jakýkoli disk v rovině s Riemannovou metrikou připouští izometrické ponoření do 4-rozměrného euklidovského prostoru. [5] $(\mathbb {R} ^{2},g)$

Poznámky

↑ viz str. 319, Gromov M. , Parciální diferenciální vztahy, Mir 1990
↑ Matthias Günther, O problému poruch spojených s izometrickým zabudováním Riemannových variet, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69-77.
↑ D. Yu. Burago , S. V. Ivanov . Izometrické vložení Finslerových variet // Algebra a Analiz. - 1993. - V. 5 , č. 1 . - S. 179-192 . (Ruština)
↑ J. Nash . Analyticita řešení problémů implicitních funkcí s analytickými vstupními daty // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , č. 4 (160) . - S. 217-226 .
↑ E. G. Poznyak . Izometrické imerze dvourozměrných Riemannových metrik v euklidovských prostorech // Uspekhi Mat . - 1973. - T. 28 , č. 4 (172) . — s. 47–76 .

Literatura

J. Nash . Problém vkládání pro Riemannovy manifoldy // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , č. 4 (160) . - S. 173-216 .