Pravděpodobnostní funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. března 2021; kontroly vyžadují 8 úprav .

Pravděpodobnostní funkce v teorii pravděpodobnosti je funkce, která vrací pravděpodobnost , že diskrétní náhodná veličina nabude určité hodnoty. Nechť je například pravděpodobnostní funkce, pak se pravděpodobnost, že nabude hodnoty rovné 13, vypočítá dosazením hodnoty do funkce , která již vrací pravděpodobnost, například 0,5 – to znamená, že pravděpodobnost získání čísla 13 je 0,5. $X$ $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ $X$ $X=13$ $p(X)=p(13)$

Pokud je skalární náhodná veličina, pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou možných hodnot s odpovídajícími pravděpodobnostmi ( ); taková tabulka se nazývá „ distribuční řada “ [1] . $X$ ${\displaystyle x_{i},\,p_{i))$

Pravděpodobnostní funkce je nejčastěji používaný způsob, jak charakterizovat diskrétní rozdělení . Hraje stejnou roli jako hustota pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu (v posledně uvedené situaci však nehovoříme o pravděpodobnosti realizace konkrétní hodnoty , ale o pravděpodobnosti, že hodnota náhodné veličiny spadne do dané interval, který se zjistí integrací hustoty pravděpodobnosti přes tento interval). $X$

Definice

Libovolná pravděpodobnostní funkce

Dovolit být míra pravděpodobnosti na , to znamená, že pravděpodobnostní prostor je definován , kde označuje Borel σ-algebru na . Míra pravděpodobnosti se nazývá diskrétní , pokud její podpora není více než spočetná , to znamená, že neexistuje více než spočetná podmnožina taková, že . $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (X)=1$

Funkce definovaná takto: $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matrix}}\vpravo.

kde je diskrétní pravděpodobnostní míra , se nazývá pravděpodobnostní funkce . Zde je důležité porozumět tomu, že funkce definovaná na množinách , nikoli na číslech, i když je definována prostřednictvím , je již funkcí definovanou přes čísla. $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $p(x)$ $\mathbb {P}$

Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny

Nechť ( ) je náhodná veličina (náhodný vektor). Potom indukuje (indukuje) pravděpodobnostní míru na (na ), nazývanou rozdělení. Náhodná veličina se nazývá diskrétní, pokud je její rozdělení diskrétní. Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny má tvar: $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p_{X}$ $X$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

nebo

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,

kde je množina hodnot, které . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \))$ $X$

Vlastnosti pravděpodobnostní funkce

Z vlastností pravděpodobnosti je to zřejmé[ komu? ] následuje:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Distribuční funkci náhodné veličiny lze vyjádřit pomocí její pravděpodobnostní funkce:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

Pokud , pak $X=(X_{1},X_{2})$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

kde je pravděpodobnostní funkce vektoru a je pravděpodobnostní funkce kvantity . Tato vlastnost se samozřejmě zobecňuje na náhodné vektory dimenze . $p_{X_{1},X_{2))$ $(X_{1},X_{2})$ $p_{X_{i))$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

Matematické očekávání funkce od diskrétní veličiny, pokud existuje, je:

{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i))

za předpokladu, že řada na pravé straně absolutně konverguje .

Příklady diskrétních distribucí

Viz také

Hustota pravděpodobnosti

Poznámky

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Teorie pravděpodobnosti. M.: Nauka (1973), viz str. 88.