Charakterizace (algebra)

Charakteristika je číselná hodnota používaná v obecné algebře k popisu určitých vlastností prstenců nebo polí .

Pro kruh je charakteristika nejmenší celé číslo , takže pro každý prvek platí rovnost: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\in R$

n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r}_{n}=0

a pokud takové číslo neexistuje, pak . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}} R=0$

Pokud je v kruhu jednotka , lze charakteristiku definovat jako nejmenší nenulové přirozené číslo takové, že , ale pokud takové číslo neexistuje, pak je charakteristika rovna nule. $R$ $n$ $n\cdot 1=0$ $n$

Charakteristiky kruhu celých čísel , oboru racionálních čísel , oboru reálných čísel , oboru komplexních čísel se rovnají nule. Charakteristikou zbytkového kruhu je . Charakteristika konečného tělesa , kde je prvočíslo, je kladné celé číslo, je rovno . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $n$ ${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$ $p$ $m$ $p$

Triviální prsten s jediným prvkem je jediný prsten s charakteristickou . $0=1$ $jeden$

Pokud má netriviální kruh s jednotou a bez nulových dělitelů kladnou charakteristiku , pak je to prvočíslo. Charakteristikou každého pole je tedy buď , nebo prvočíslo . V prvním případě pole obsahuje jako podpole pole izomorfní k oboru racionálních čísel , ve druhém případě pole obsahuje jako podpole pole izomorfní k oboru zbytků . V obou případech se toto podpole nazývá jednoduché pole (obsahuje ). $n$ $K$ $0$ $p$ $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $\mathbb {F} _{p}$ $K$

Charakteristika konečného pole je vždy kladná, ale skutečnost, že charakteristika pole je kladná, neznamená, že pole je konečné. Jako protipříklady lze uvést pole racionálních funkcí s koeficienty v a algebraické uzavření pole . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Jestliže je komutativní kruh prvočísla , pak pro všechny , . Pro takové prsteny lze definovat Frobeniův endomorfismus . $R$ $p$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\v R$ $n\in \mathbb {N}$

Literatura

Lidl R., Niederreiter G. Konečná pole: Ve 2 sv. T. 1. Per. z angličtiny. — M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. — M.: Nauka, 1977.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Učebnice. Ve 2 svazcích T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.