Leylandova čísla

Leylandova čísla  jsou přirozená čísla reprezentovaná jako x y + y x , kde x a y  jsou celá čísla větší než 1 [1] . Někdy se 3 označuje také jako Leylandovo číslo [2] .

Prvních několik Leylandových čísel [2] :

3 , 8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320, 368, 512, 593, 945 , 1124, 1649, 2169, 2520, 2520, …

Požadavek, že x a y musí být větší než 1, je klíčový, protože bez něj by bylo každé přirozené číslo reprezentovatelné jako x 1 + 1 x . Navíc kvůli komutativitě sčítání se podmínka x ≥ y obvykle přidává , aby se zabránilo dvojímu pokrytí Leylandových čísel. Definiční obor x a y je tedy definován nerovností 1 < y ≤ x .

Leyland prvočísla

Několik prvních Leylandových prvočísel [ 3] [4] :

17 \u003d 3 2 + 2 3 , 593 \u003d 9 2 + 2 9 , 32 993 = 152 + 215 _ 2097593 = 212 + 221 , 8 589 935 681 \u003d 33 2 + 2 33 , 59 604 644 783 353 250 = 24 5 + 5 24 , …

V červnu 2008 byl největší známý Leyland prvočíslo

2638 4405 + 4405 2638

s 15 071 číslicemi [5] , jehož jednoduchost byla prokázána v roce 2004 pomocí algoritmu fastECPP [6] .

Poté byla nalezena ještě větší Leylandova prvočísla, například 5122 6753 + 6753 5122 (25050 desetinných míst) [7] . V prosinci 2012 bylo prokázáno, že prvočísla jsou i čísla 3110 63 + 63 3110 (5596 desetinných míst) a 8656 2929 + 2929 8656 (30008 desetinných míst). Poslední z těchto čísel obsahuje dosud rekordní počet desetinných míst [8] . Existují hlavní kandidáti, například 314738 9 + 9 314738 [9] , ale jejich jednoduchost zatím nebyla prokázána.

Aplikace

Čísla formuláře se ukázala být dobrými testovacími případy pro univerzální faktorizační algoritmy kvůli jejich jednoduchému algebraickému popisu a nedostatku zřejmých vlastností, které by umožnily použití jakéhokoli speciálního faktorizačního algoritmu [4] [6] .

Poznámky

  1. ↑ Prvočísla: Výpočetní perspektiva, 2005 .
  2. ↑ 1 2 OEIS sekvence A076980 _
  3. ↑ OEIS sekvence A094133 _
  4. ↑ 1 2 Prvočísla a silná Pseudoprima tvaru x y + y x (sestupná linka) . Paul Leyland. Datum přístupu: 14. ledna 2007. Archivováno z originálu 10. února 2007. 
  5. ↑ Elliptic Curve Primality Proof (nedostupný odkaz) . Chris Caldwell. Získáno 24. června 2008. Archivováno z originálu 10. prosince 2008. 
  6. ↑ 1 2 Prvočísla: Výpočetní perspektiva, 2005 , str. čtyři.
  7. ↑ Důkaz prvořadosti eliptické křivky . Chris Caldwell. Staženo: 3. dubna 2011.
  8. ↑ Mihailescovo CIDE . mersenneforum.org (11. prosince 2012). Staženo: 26. prosince 2012.
  9. ↑ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records vyhledávání

Literatura