Excentricita
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 15. prosince 2021; ověření vyžaduje
1 úpravu .
Excentricita je číselná charakteristika kuželosečky , která ukazuje míru její odchylky od kružnice . Obvykle se označuje nebo .
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
![\varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
Excentricita je neměnná pod rovinnými pohyby a podobnostními transformacemi .
Definice
Všechny nedegenerované kuželosečky, kromě kružnice , lze popsat následovně: vybereme bod a přímku v rovině a nastavíme reálné číslo ; pak těžiště bodů, pro které je poměr vzdáleností k bodu a k přímce roven , je kuželosečka; to znamená, že pokud existuje projekce na , pak
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
![{\displaystyle FM=e\cdot MM'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeefb985cff29d98535b65f0510628fd9651e1ae)
.
Toto číslo se nazývá excentricita kuželosečky. Excentricita kruhu je podle definice 0.
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
Související definice
- Bod se nazývá ohnisko kuželosečky.
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
- Přímka se nazývá přímka .
![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
Kuželosečka, jejíž jedno z ohnisek se nachází na pólu, je dána v polárních souřadnicích rovnicí:
![{\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b656935ef42081e5addb514a1a44698b8ce258b)
,
kde je excentricita a je další konstantní parametr (tzv. ohniskový parametr ).
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
![\ell](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f066e981e530bacc07efc6a10fa82deee985929e)
Je snadné ukázat, že tato rovnice je ekvivalentní definici uvedené výše. V podstatě ji lze použít jako alternativní definici výstřednosti, možná méně zásadní, ale vhodnou z analytického a aplikovaného hlediska; zejména jasně ukazuje roli excentricity v klasifikaci kuželoseček a určitým způsobem dále objasňuje její geometrický význam.
Vlastnosti
- V závislosti na excentricitě to dopadne:
- když - hyperbola . Čím větší je excentricita hyperboly, tím více její dvě větve vypadají jako rovnoběžné přímky;
![e>1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605ca17e3915b659685c0326fbbcbfb522f11b3)
- když - parabola ;
![e=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2f5932668126c63c844dc00ca187bc58a29e5a)
- když - elipsa ;
![{\displaystyle 0\leq e<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09a5cdc9495b3b2f6a97f0e2ed8e08bccbc0d89)
- pro kruh , .
![e=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9850169d70a5ab7df71c2126441a86cec93eec8)
- Excentricita elipsy a hyperboly je rovna poměru vzdálenosti od ohniska ke středu k hlavní poloose. Tato vlastnost je někdy brána jako definice excentricity. V dřívějších dobách (např. v roce 1787 [1] ) se nedělily hlavní poloosou - vzdálenost od ohniska ke středu se nazývala excentricita elipsy [2] .
- Excentricitu elipsy lze také vyjádřit poměrem vedlejší ( ) a velké ( ) poloosy:
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f9893df3274d3b63537988b4158ae5f4e671e7)
.
- Excentricitu hyperboly lze vyjádřit poměrem imaginární ( ) a skutečné ( ) poloosy:
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![{\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6925258c1847fdbc02e34004d0f7436afd38fc22)
.
- Excentricita rovnostranné hyperboly, která je grafem nepřímé úměrnosti a je dána rovnicí , je rovna .
![{\displaystyle f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ed793a4a73d1adb319133430319d28e2ed33a4)
![{\sqrt {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff)
- U elipsy ji lze také vyjádřit poměrem poloměrů peri- ( ) a apocentra ( ):
![{\displaystyle r_{\mathrm {per} ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25858e837f33fa84a71fbb35b08563451bacfca1)
![{\displaystyle r_{\mathrm {ap} ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf085717848e1da73f06460d27912908907d1742)
![e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432fffef7fcc98e0eee8646a11a87b49f0f3421f)
.
Viz také
Poznámky
- ↑ John Bonnycastle. Úvod do astronomie . - Londýn, 1787. - S. 90.
- ↑ Oxfordský anglický slovník . — 2. vyd. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Sv. V. - S. 50.
Literatura
Slovníky a encyklopedie |
|
---|
V bibliografických katalozích |
|
---|