Síť Epsilon

ε -síť ( epsilon -network , ε -hustá množina) pro podmnožinu metrického prostoru je množinaze stejného prostorutak, že pro jakýkoli bodexistuje bod, kterýje nanejvýš ε vzdálen od . $M$ $X$ $Z$ $X$ $x\v M$ $z\in Z$ $X$

Související definice

Metrický prostor, ve kterém pro každého existuje konečná síť, se nazývá zcela ohraničený . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Metrika na množině se nazývá zcela ohraničená , pokud jde o zcela ohraničený metrický prostor. $\rho$ $X$ $(X,\rho)$

Rodina metrických prostorů , pro které existuje přirozené číslo takové, že každý prostor připouští -síť nejvýše bodů, se nazývá univerzálně zcela ohraničená . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- Pro takové rodiny platí analogie Gromovovy věty o kompaktnosti .

Topologický prostor , který je homeomorfní k totálně ohraničenému metrickému prostoru, se nazývá metrizovatelná totálně ohraničená metrika .

Příklady

Pro standardní metriku je množina racionálních čísel ε -síť pro množinu reálných čísel pro libovolné ε > 0 .
Množina celých čísel je ε -síť pro množinu reálných čísel pro $\varepsilon\ge 0{,}5$

Vlastnosti

Metrický prostor má ekvivalentní zcela omezenou metriku právě tehdy, když je oddělitelný .
Topologický prostor je metrizovatelný totálně ohraničenou metrikou právě tehdy, když je pravidelný a splňuje druhý axiom spočetnosti .
Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je úplný a zcela ohraničený. V trochu obecnější formulaci Hausdorffův teorém kompaktnosti říká, že aby podmnožina metrického prostoru byla relativně kompaktní , je nutné, a pokud je prostor úplný , stačí, aby pro jakýkoli existovala konečná ε -síť prvků. souboru . $M$ $X$ $X$ $\varepsilon > 0$ $M$

Důkaz

Potřeba

Ať je sestava (relativně) kompaktní. Opravujeme a zvažujeme jakýkoli prvek . Pokud pro nějaké , pak již byla zkonstruována konečná ε -síť jednoho prvku. Jinak existuje prvek takový, že . Existují další dvě možnosti. Buď pro kterékoli alespoň jedno z čísel nebo je menší než , a pak již byla sestavena konečná ε -net dvou prvků, nebo existuje prvek takový, že , , a tak dále. Ukažme, že proces konstrukce bodů skončí po konečném počtu kroků, což znamená, že bude sestrojena konečná ε -net. Pokud by tomu tak nebylo, pak bychom dostali posloupnost, pro kterou při . Ale pak ani posloupnost samotná, ani žádná z jejích podsekvencí nemůže konvergovat, což je v rozporu s kompaktností množiny . Pro kompaktní množinu jsme tedy zkonstruovali konečnou ε -net, jejíž body patří množině samotné. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \v M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \v M$ $x_{2} \v M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \v M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \v M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $i \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Přiměřenost

Předpokládejme, že pro všechny existuje ε -net pro množinu . Vezměme si číselnou posloupnost , kde pro a pro každého zkonstruujeme -network . Zvažte libovolnou sekvenci . Protože existuje -net pro , pak, ať už je to jakýkoli prvek , budeme ho mít alespoň pro jeden prvek . Jakýkoli prvek tedy spadá alespoň do jedné koule , tedy celá sada , a ještě více celá sekvence , se bude nacházet v těchto koulích. Protože kuliček je konečný počet a posloupnost je nekonečná, existuje alespoň jedna kulička , která bude obsahovat nekonečnou podposloupnost naší posloupnosti. Tuto úvahu lze opakovat pro . Udělejme diagonální subsekvenci . Ukažme, že tato posloupnost sama o sobě konverguje. Protože a pro jsou zahrnuty v -té podposloupnosti a -té podposloupnosti jsou obsaženy v kouli , pak pro . Podle předpokladu je prostor plný. Z konvergence posloupnosti samotné tedy plyne její konvergence k určité limitě, a to dokazuje možnost výběru konvergentní podposloupnosti z libovolné posloupnosti, tedy (relativní) kompaktnost množiny [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \in M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $M$ $x \v M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \in N_{1}$ $x \v M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \ldots$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \rightarrow \infty$ $X$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Úplný metrický prostor je kompaktní tehdy a jen tehdy, když pro jakýkoli v něm existuje kompaktní ε -net. $\varepsilon> 0$

Poznámky

↑ Sobolev V.I. Přednášky o dalších kapitolách matematické analýzy. - M .: Nauka, 1968 - str. 59.

Literatura

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Kurz metrické geometrie. Moskva-Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2004, 512 s. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.