Hermitovský operátor

V matematice , operátor v komplexním nebo skutečném Hilbert prostoru je volán Hermitian , symetrický , jestliže to uspokojí rovnost pro všechny od domény definice . Zde a níže se předpokládá, že jde o skalární součin v . Jméno je dáno na počest francouzského matematika Charlese Hermita . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x, y$ $A$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

Operátor v se nazývá self-adjoint nebo hypermaximální Hermitian , pokud se shoduje s jeho adjointem . $\mathfrak H$

Samoadjungovaný operátor je symetrický; opak obecně neplatí. Pro spojité operátory definované na celém prostoru se pojmy symetrický a samoadjungovaný shodují.

Vlastnosti

1. Spektrum (množina vlastních hodnot ) samoadjungovaného operátoru je reálné .

Důkaz

Neboť jakákoli vlastní hodnota je podle definice pravdivá . Proto jsou podle definice samoadjungované transformace následující výrazy rovnocenné: $\lambda$ $A\left( x \right) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

odkud je skutečné číslo. $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. V unitárních konečněrozměrných prostorech je matice samoadjungovaného operátoru hermitovská . (Zejména v euklidovském prostoru je matice samoadjungovaného operátoru symetrická.)

Důkaz

V unitárním prostoru je vnitřní součin definován jako , kde a jsou souřadnicové sloupce vektorů a, resp. Podle definice samoadjungovaného operátoru jsou tedy výrazy stejné $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $X$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Tedy , což je definice hermitovské matice. $A^T = \overline A$

3. Hermitovská matice má vždy ortonormální základ vlastních vektorů — vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální.

Důkaz Lemma 1. Vlastní prostory samoadjungované transformace jsou párově ortogonální. Důkaz lemmatu 1: Existují dvě odlišné vlastní hodnoty a . V souladu s tím pro vektory a z jejich odpovídajících vlastních prostorů a platí . Proto se rovná . Ale vlastní hodnoty samoadjungované transformace jsou skutečné a lze je odvodit z posledního výrazu . Podle definice samoadjungované transformace tedy můžeme získat , odkud, pokud jsou vlastní čísla různá , je jasné, že , což mělo být prokázáno.

\lambda

\mu

X

y

A\left( x \right) = \lambda x

A\left( y \right) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \right) = 0

Lemma 2. Pokud je podprostor invariantní pod samoadjungovanou transformací , pak je ortogonální doplněk tohoto podprostoru také invariantní pod .

E'

A

A

Důkaz lemmatu 2: Je známo, že v něm leží obraz libovolného vektoru patřícího do podprostoru . Proto pro jakýkoli vektor , . Vzhledem k tomu, že transformace je samoadjungovaná, vyplývá z toho , že , tedy obraz libovolného vektoru z patří do , což znamená, že podprostor je invariantní pod transformací A, která měla být prokázána.

X

E'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

A

\left({x,A\left( y \right)} \right) = 0

y

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

Doklad o vlastnictví 3: Existuje alespoň jedna vlastní hodnota pro operátor R v n-rozměrném prostoru . U vlastnosti 1 je tato vlastní hodnota skutečná. Lze najít odpovídající vlastní vektor e 1 . Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že . Pokud n=1, pak je důkaz kompletní.

\lambda_1

|e_1| = 1

Uvažujme E 1 - lineární obálku prvku e 1 , což je jednorozměrný invariantní vlastní podprostor R. Nechť E n-1 je ortogonální doplněk k E 1 . Potom podle lemmatu 2 je E n-1 invariantní pod uvažovaným operátorem. Považujte to nyní za R', které působí pouze v E n-1 . Pak je zřejmé, že se bude jednat o samoadjungovaný operátor daný v E n-1 , protože E n-1 je invariantní pod R podle lemmatu 2 a navíc pro x, y E n : (Rx, y) = (x, Ry), včetně pro x,y Еn -1 .

\pro všechny

\v

\pro všechny

\v

Aplikováním výše uvedené úvahy najdeme nové vlastní číslo a odpovídající vlastní vektor . Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že . V tomto případě se může náhodně shodovat s , nicméně z konstrukce je zřejmé, že . Pokud n=2, pak je důkaz kompletní. Jinak uvažujme E - lineární skořepinu a její ortogonální doplněk E n-2 . Najděte nové vlastní číslo a odpovídající vlastní vektor a tak dále.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Podobné úvahy provádíme až do vyčerpání Е n . Důkaz je kompletní.

4. Pro hermitovský operátor A je determinant det ||A|| jeho matice se rovná součinu vlastních hodnot.

Matrice

Hermitovský konjugát k dané matici je matice získaná z původní matice její transpozicí a předáním komplexnímu konjugátu, tedy . Toto je přirozená definice: pokud napíšeme lineární zobrazení a jeho hermitovský konjugovaný operátor v jakékoli bázi jako matice, pak jejich matice budou hermitovsky konjugované. Matrice rovnající se její hermitovské konjugaci se nazývá hermitská nebo samoadjungovaná: protože . $A^{\dagger },$ $A$ $(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dagger }=A$

Aplikace

Hermitovští operátoři hrají důležitou roli v kvantové mechanice , kde reprezentují pozorovatelné fyzikální veličiny, viz Heisenbergův princip neurčitosti .

Viz také

Vedlejší operátor