ATC věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

ATS věta - věta o aproximaci goniometrického součtu kratším.

V některých oblastech matematiky a matematické fyziky součty tvaru

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Zde a jsou skutečné funkce skutečného argumentu, $\varphi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Takové součty se objevují například v teorii čísel při analýze Riemannovy zeta funkce , při řešení problémů souvisejících s rozložením celočíselných bodů v různých oblastech v rovině a prostoru , při studiu Fourierových řad , při řešení diferenciálních rovnic , jako je vlna rovnice , rovnice tepelné vodivosti atd.

Úvodní poznámky

Nazvěme délku součtu $S$ číslem (pro celá čísla je to jen počet členů v ). $ba$ $A$ $b$ $S$

Použijeme následující zápis:

Pokud nebo zápis znamená, že existují konstanty a , takové, že $B > 0, B \to +\infty$ $B \na 0$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
Pro skutečný zápis to znamená $\alpha$ $\|\alpha \|$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ kde je zlomková část $\{\alpha\}$ $\alpha.$

Zformulujme hlavní větu o nahrazení goniometrického (někdy též exponenciálního) součtu kratším.

Věta ATS

Nechť reálné funkce a splní následující podmínky na intervalu: $f(x)$ $\varphi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ a jsou spojité; $\varphi''(x)$
jsou tam čísla a podobně $H$ $U$ $PROTI$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{pole}$

Poté určete čísla z rovnice $x_{\mu }$

f'(x_{\mu}) = \mu,

my máme

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

kde

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\vpravo)\vpravo);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i }}s\ an\ celé číslo};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\vpravo.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {pole}\vpravo.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu)))))e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Van der Corputovo Lemma

Nejjednodušší verzí formulovaného teorému je tvrzení nazývané v literatuře van der Corput lemma .

Nechť je reálná diferencovatelná funkce na intervalu , navíc uvnitř tohoto intervalu je její derivace monotónní a znaménkově konstantní funkcí a pro , splňuje nerovnost $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = konst$ $0 < \delta < 1$

|f'(x)| \leq \delta .

Pak

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\right),

kde $|\theta| \le 1.$

Pokud jsou parametry a celá čísla , lze poslední výraz nahradit následujícím: $A$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \frac12e^{2\pi if(b)} - \frac12e^{2\pi if(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

kde . $|\theta| \le 1$

Aplikace

Viz [1] , [2] , viz také [3] , [4] pro aplikace ATS ve fyzikálních problémech .

Historie

Problémem aproximace goniometrické řady jakoukoliv vhodnou funkcí se zabývali Euler a Poisson .

Za určitých podmínek může být součet s dobrou přesností nahrazen jiným součtem $\varphi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

jehož délka je mnohem menší než u prvních vztahů formuláře $\beta-\alfa$ $ba.$

S=S_{1}+R\ ,

kde je zbytek člen se specifickými funkcemi a byly získány G. Hardym a J. Littlewoodem [5] [6] [7] při odvození funkcionální rovnice pro Riemannovu zeta funkci a I. Vinogradovem [8] při uvažování počet celočíselných bodů v oblastech na rovině. Obecně řečeno, větu dokázal J. Van der Corput [9] [10] (aktuální výsledky související s Van der Corputovou větou viz [11] ). $R$ $\varphi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

V každé z výše uvedených prací byla uvalena určitá omezení na funkce a . S omezeními vhodnými pro aplikace byla věta prokázána A. A. Karatsubou v [12] (viz také [13] [14] ). $\varphi(x)$ $f(x)$

Poznámky

↑ EA Karatsuba Aproximace součtů oscilujících součtů v určitých fyzikálních úlohách, - JMP 45:11 , pp. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba O přístupu ke studiu Jaynes-Cummingsovy sumy v kvantové optice, - Numerical Algorithms, Vol. 45, č. 1-4, pp. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Nejlepší chirpletový řetězec: téměř optimální detekce cvrlikání gravitačních vln, Phys. Rev. D73 :4 , 042003, str. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Jednoduché oživení: Poissonův sumační vzorec jako klíč k oživení v Jaynes-Cummingsově modelu, Phys. Rev. A 47:3 , str. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy a JE Littlewood Trigonometrické řady spojené s eliptickými θ-funkcemi, Acta Math. 37 , str. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy a JE Littlewood Příspěvky k teorii Riemannovy Zeta-funkce a teorii distribuce prvočísel, - Acta Math. 41 , str. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy a JE Littlewood Nuly Riemannovy zeta-funkce na kritické linii, Math. Z., 10 , str. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov O střední hodnotě počtu tříd čistě kořenových forem negativního determinantu, - Soobshch. Charkov. Rohož. Ostrovy, díl 16, č. 1/2, s. 10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ann. 84 , str. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Math. Ann., 87 , str. 39-65 (1922).
↑ HL Montgomery Deset přednášek o rozhraní mezi analytickou teorií čísel a harmonickou analýzou, - Am. Matematika. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Aproximace exponenciálních součtů kratšími, - Proc. Indický. Akad. sci. (Math. Sci.) 97:1-3 , str. 167-178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann zeta funkce, - M. : Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev Věta o aproximaci kratšího goniometrického součtu, Izvestija RAN. Matematická řada, díl 71, č. 2, s. 123-150 (2007).