Aritmetické studie (Gauss)

Aritmetické studie
Disquisitiones Arithmeticae
Titulní strana prvního vydání
Žánr	pojednání , teorie čísel a geometrie
Autor	Carl Friedrich Gauss
Původní jazyk	latinský
Datum prvního zveřejnění	1801
Text práce ve Wikisource
Mediální soubory na Wikimedia Commons

"Aritmetické vyšetřování" ( lat. Disquisitiones Arithmeticae ) je první velké dílo 24letého německého matematika Carla Friedricha Gausse , publikované v Lipsku v září 1801 . Tato monografie (přes 600 stran) byla klíčovým milníkem ve vývoji teorie čísel ; obsahoval jak podrobný výklad výsledků předchůdců ( Fermat , Euler , Lagrange , Legendre a další), tak i Gaussovy vlastní hluboké výsledky. Mezi posledně jmenované byly zvláště důležité [1] :

Kvadratický zákon reciprocity , základ teorie kvadratických reziduí . Gauss podal svůj důkaz poprvé.
Teorie skládání tříd a rodů kvadratických forem , která se stala nejvýznamnějším příspěvkem k vytvoření teorie algebraických čísel .
Teorie dělení kruhu . Toto není jen příklad aplikace obecných metod, ale, jak se později ukázalo, prototyp na konkrétním příkladu obecné Galoisovy teorie objevené ve 30. letech 19. století .

Gaussova práce na "vyšší aritmetice" (jak nazval teorii čísel) předurčila vývoj tohoto odvětví matematiky na více než století. B. N. Delaunay považuje tuto práci za „ mentální výkon “ mladého vědce, který má ve světové vědě jen málo sobě rovných [2] .

Stav teorie čísel na konci 18. století

Starověcí řečtí matematici vyvinuli několik témat souvisejících s teorií čísel. Dostali se k nám v VII-IX knihách Euklidových „ Počátků “ (III. století př. n. l.) a zahrnovaly nejdůležitější pojmy teorie dělitelnosti : dělení celých čísel, dělení se zbytkem , dělitel, násobek, prvočíslo , Euklidovo Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

Dále, vývoj teorie čísel pokračoval až po dvou tisíciletích. Autorem nových myšlenek byl Pierre Fermat (XVII století). Mezi jinými objevil vlastnost dělitelnosti neznámou starověku ( Fermatova malá věta ), která má zásadní charakter. Fermatův výzkum pokračoval a prohloubil ho Euler , který založil teorii kvadratických a jiných mocninných zbytků, objevil " Eulerovu identitu ". Několik hlavních objevů bylo vyrobeno Lagrangeem a Legendre publikoval monografii “ zkušenost v teorii čísel ” (1798), první detailní představení této sekce matematiky v historii. Koncem 18. století došlo k pokroku ve studiu nekonečných zlomků , řešení různých typů rovnic v celých číslech ( Wallis , Euler, Lagrange) a začalo se studium rozdělení prvočísel (Legendre).

Gauss začal pracovat na své knize ve věku 20 let (1797). Kvůli neuspěchané práci místní tiskárny se práce na knize protáhly na 4 roky; navíc podle pravidla, kterému byl věrný celý život, se Gauss snažil publikovat pouze dokončené studie vhodné pro přímou praktickou aplikaci. Na rozdíl od Legendra Gauss nenabízel pouze seznam teorémů, ale systematický výklad teorie založený na jednotných myšlenkách a principech. Všechny uvažované problémy jsou dovedeny na úroveň algoritmu , kniha obsahuje mnoho numerických příkladů, tabulek a vysvětlení [3] [4] .

Obsah knihy

Kniha se skládá z věnování a sedmi oddílů, rozdělených do odstavců, které mají průběžné číslování. V dedikaci Gauss vyjadřuje vděk svému mecenášovi Karlu Wilhelmu Ferdinandovi , vévodovi z Brunswicku (dedikace byla z ruského překladu z roku 1959 vynechána).

První tři oddíly v podstatě neobsahují nové výsledky, i když z hlediska ideologického a metodického mají rovněž značnou hodnotu.

Oddíl 1. O srovnatelnosti čísel obecně,

Zde Gauss, shrnující Eulerův výzkum, představuje klíčový koncept porovnávání celých čísel modulo a pohodlnou symboliku tohoto poměru, který byl okamžitě zakořeněn v matematice:

a\equiv b{\pmod {m))

Jsou uvedeny vlastnosti srovnávacího vztahu, které ho jednak přibližují vztahu rovnosti, jednak jsou specifické pro vztah srovnávání. Dále je celá teorie čísel postavena „v jazyce srovnávání“. Konkrétně je poprvé v historii konstruován kvocientový kruh tříd zbytků [5] .

Oddíl 2. O srovnání prvního stupně.

Na začátku oddílu jsou uvažovány různé vlastnosti dělitelnosti . Mezi nimi (v odstavci 16) je poprvé kompletně formulována a prokázána základní věta aritmetiky - na rozdíl od svých předchůdců Gauss jasně naznačuje, že rozklad na prvočinitele je jedinečný : " každé složené číslo lze rozložit na prvočinitele pouze jedním a jediným způsobem “.

Toto je řešení srovnání prvního stupně:

ax+t\equiv 0{\pmod {p}}

a systémy takových srovnání.

Část 3. O zbytcích energie,

V této části a v následujících autor přechází ke srovnání stupně nad jedna pro primární modul . Při zkoumání zbytků Gauss dokazuje existenci primitivních kořenů pro primární modul (Euler to nemá přesný důkaz). Je dokázán Lagrangeův teorém: srovnání stupně modulo a prvočíslo již nemá nesrovnatelné řešení. $p$ $n$ $n$

Oddíl 4. O srovnání druhého stupně.

Gauss zde dokazuje slavný kvadratický zákon reciprocity , který po zásluze nazval „zlatým teorémem“ ( lat. theorema aureum ). Poprvé ji formuloval Euler v roce 1772 (publikováno v Opuscula Analytica , 1783), Legendre k této větě dospěl nezávisle (1788), ale ani jeden, ani druhý nebyli schopni zákon dokázat. Gauss celý rok hledal způsoby, jak to dokázat. Zákon reciprocity umožňuje zejména pro dané celé číslo najít moduly, vůči nimž je reziduem (nebo naopak nezbytkem). $A$ $A$

Oddíl 5. O formách a neurčitých rovnicích druhého stupně.

Toto je nejrozsáhlejší část knihy. Na začátku oddílu uvádí Gauss další důkaz zákona kvadratické reciprocity (později navrhl šest dalších a v roce 1832 publikoval (bez důkazu) zákon bikvadratické reciprocity pro zbytky 4. stupně). Dále je podrobně popsána teorie kvadratických forem , která rozhoduje o tom, jaké hodnoty mohou nabývat vyjádření formy s celočíselnými koeficienty [6] . $ax^2 + 2bxy + cy^2$

Sekce se skládá ze 4 částí:

Klasifikace, teorie reprezentace celých čísel binárními kvadratickými tvary tvaru , řešení obecné neurčité rovnice 2. stupně o dvou neznámých v celých číslech. Tyto výsledky již byly získány dříve, především Lagrange. $ax^2 + 2bxy + cy^2$
Teorie skládání tříd binárních kvadratických forem a teorie jejich rodů.
Teorie ternárních kvadratických forem, která znamenala počátek aritmetické teorie kvadratických forem v mnoha proměnných.
Praktické aplikace teorie forem: důkaz rodové věty, teorie rozšiřování čísel na součet tří čtverců nebo tří trojúhelníkových čísel , řešení neurčité rovnice , řešení obecné neurčité rovnice druhého stupně o dvou neznámých v racionálních číslech a úvahy o průměrném počtu tříd v rodu. $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

Významná část oddílu je obecně algebraického charakteru a následně byl tento materiál převeden do obecné teorie grup a okruhů.

Sekce 6. Různé aplikace předchozího výzkumu.

Gauss řeší několik prakticky důležitých problémů.

Uvažujme zlomek , kde jmenovatel může být reprezentován jako součin prvočísel : Pak lze zlomek rozšířit: ${\frac {m}{n)),$ $n$ $n=abc\dots$

{\frac {m}{n}}={\frac {u}{a}}+{\frac {v}{b}}+{\frac {w}{c}}+\dots

Důkladně je prostudována teorie reprezentace obyčejných zlomků periodickými desetinnými zlomky - závislost délky periody na jmenovateli zlomku, zákon tvoření periodových číslic a souvislost s primitivními kořeny.
Metoda řešení porovnání , která nevyžaduje použití indexových tabulek . $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$
Metoda řešení rovnice v celých číslech. $mx^{2}+ny^{2}=a$
Dvě metody pro kontrolu, zda je dané celé číslo prvočíslo.

Oddíl 7. O rovnicích, na nichž závisí dělení kružnice.

Rozdělení kruhu na stejné části nebo ekvivalentně sestrojení pravidelného vepsaného úhelníku lze algebraicky popsat jako řešení rovnice pro dělení kruhu v komplexní rovině . Kořeny této rovnice se nazývají " kořeny jednoty ". Pokud se v souladu s prastarými principy omezíme pouze na veličiny, které lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka , pak vyvstává otázka: pro jaké hodnoty je taková konstrukce možná a jak ji realizovat v praxi [7] . $n$ $n$ $x^{n}-1=0$ $n$

Gauss byl první, kdo vyřešil tento starověký problém vyčerpávajícím způsobem. Staří Řekové věděli, jak rozdělit kruh na části pro následující hodnoty $n$ $n:$

{\displaystyle 2^{k};\quad 3\cdot 2^{k};\quad 5\cdot 2^{k};\quad 15\cdot 2^{k))

Gauss formuloval kritérium, které později vešlo ve známost jako „ Gauss-Wanzelova věta “: konstrukce je možná tehdy a jen tehdy, když ji lze reprezentovat ve tvaru [7] : $n$

n=p_{1}p_{2}\tečky p_{t}\cdot 2^{k},

kde jsou různá prvočísla formuláře ${\displaystyle p_{1},p_{2}\tečky p_{t))$ $2^{m}+1.$

Kořeny rovnice dělení kruhu lze vždy vyjádřit „v radikálech“, ale obecně řečeno, tento výraz obsahuje radikály stupně vyššího než druhý a použití kružítka a pravítka umožňuje extrahovat pouze druhé odmocniny. Proto Gaussovo kritérium vybírá pouze ty hodnoty, u kterých není stupeň radikálů vyšší než druhý. Konkrétně Gauss ukázal, jak sestrojit pravidelný 17-úhelník odvozením vzorce: $n,$

\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left( 17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\vpravo )))-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right))))}}\vpravo)

Protože tento vzorec obsahuje pouze druhé odmocniny, všechny v něm obsažené veličiny lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka. Gauss byl na tento objev hrdý a odkázal, aby na jeho náhrobní kámen vyryl pravidelný 17-úhelník vepsaný do kruhu [8] . Sebevědomě prohlásil, že všechny pokusy postavit pravidelný sedmiúhelník, 11-úhelník atd. s kompasem a pravítkem budou neúspěšné.

„Aritmetická zkoumání“ obsahuje pouze důkaz o dostatečnosti Gaussova kritéria a důkaz nezbytnosti je podle autora vynechán, protože „ hranice této práce nedovolují tento důkaz zde předložit . " Opomenutý důkaz však nebyl nalezen ani v dílech, ani v archivu vědce; poprvé ji publikoval francouzský matematik Pierre Laurent Wantzel v roce 1836 [7] [9] .

Historický vliv

Historici zaslouženě nazývají Fermata a Eulera tvůrci teorie čísel, ale Gauss by měl být označován za tvůrce moderní teorie čísel, jehož myšlenky udaly směr dalšího postupu teorie [10] . Jedním z hlavních úspěchů aritmetických výzkumů bylo postupné uvědomění si matematické komunity, že mnoho problémů v teorii čísel (a jak se brzy ukázalo, nejen v této teorii) je spojeno s neobvyklými algebraickými strukturami, vlastnostmi které měly být studovány. Struktury grup , okruhů a polí , včetně konečných, byly implicitně použity již v Gaussově knize a řešení problémů prezentovaných v knize často spočívalo v zohlednění jejich vlastností a vlastností. Již v této knize se Gauss opírá o nestandardní (modulární) aritmetiku; v pozdější práci používá nezvyklou aritmetiku pro komplexní celá ( Gaussova ) čísla. Jak se materiál hromadil, potřeba obecné teorie nových struktur byla stále jasnější.

Styl Aritmetických vyšetřování byl kritizován za to, že je (místy) příliš krátký; Monografie si přesto vysloužila Lagrangeovo nadšené hodnocení , ve svém dopise Gaussovi (1804) říká: „ Vaše výzkumy vás okamžitě povýšily na úroveň prvních matematiků a domnívám se, že poslední část obsahuje nejkrásnější analytický objev mezi těmi vyrobené po dlouhou dobu [11] .

Dále Gaussovy studie byly vyvinuty především samotným Gaussem, který publikoval několik dalších prací o teorii čísel, z nichž vyvolaly zvláštní ohlas:

1811: „Shrnutí nějaké řady zvláštního druhu“.
1828-1832: "Teorie bikvadratických zbytků". Poprvé se v něm objevila Gaussova čísla.

V průkopnické práci Gausse pokračoval Niels Abel , který prokázal nemožnost řešení obecné rovnice pátého stupně v radikálech. V algebraické teorii čísel pokračovali v Gaussově práci Jacobi , Eisenstein a Hermite . Jacobi našel zákon reciprocity pro kubické zbytky (1839) a zkoumal kvartérní formy. Cauchy studoval obecnou neurčitou ternární kubickou rovnici (1816). Dirichlet , Gaussův nástupce v oddělení Göttingen, měl Aritmetická vyšetřování jako referenční knihu, se kterou se téměř nikdy nerozloučil, a v mnoha svých pracích rozvinul myšlenky Gausse. Hlavním přínosem Kummera byl vývoj teorie ideálů , která vyřešila mnoho algebraických problémů [12] .

Rozhodujícím krokem ve vytvoření nové algebry byla práce Evariste Galoise a Arthura Cayleyho , od níž začíná formování moderní obecné algebry .

Publikace

Online text

Text ve Wikisource .
Ve formátu PDF .

Ruský překlad

Carl Friedrich Gauss. Sborník z teorie čísel / Obecné vydání akademika I. M. Vinogradova , komentáře člena korespondenta. Akademie věd SSSR B. N. Delaunay . - M. : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1959. - 297 s. - (Klasika vědy).

Poznámky

↑ Práce o teorii čísel, 1959 , str. 875-876.
↑ Práce o teorii čísel, 1959 , str. 878,882.
↑ Práce o teorii čísel, 1959 , str. 878, 881-882.
↑ Klein F., 1937 , s. 54.
↑ Matematika 19. století. Svazek I, 1978 , str. 62, 82-83.
↑ Práce o teorii čísel, 1959 , str. 906.
↑ 1 2 3 B. N. Delaunay, 1959 , str. 957-966.
↑ Obelisk na Gaussově hrobě tuto postavu neobsahuje, ale je vidět ve formě podstavce, na kterém pomník stojí, viz stránka "Gaussova hrobka" .
↑ Matematika 19. století. Svazek I, 1978 , str. 40.
↑ Klein F., 1937 , s. 55.
↑ E. T. Bell, Makers of Mathematics . - M . : Vzdělávání, 1979. - 256 s.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 375-376.

Literatura

Vileitner G. Dějiny matematiky od Descarta do poloviny 19. století. - M. : GIFML, 1960. - 468 s.
Delaunay B. N. Práce Gausse o teorii čísel // Carl Friedrich Gauss . Práce na teorii čísel. - M . : Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1959. - S. 879-976. — 297 s. - (Klasika vědy).
Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - 432 s.
Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.). Matematika 19. století. Svazek I: Matematická logika, algebra, teorie čísel, teorie pravděpodobnosti. — M .: Nauka, 1978.
Lisana, Antonio Rufian . Kdyby čísla mohla mluvit. Gauss. Teorie čísel. Řada: Věda. Největší teorie. Vydání č. 8. M.: DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 str.

Tematické stránky	OCLC OCLC
Slovníky a encyklopedie	Britannica (online) Universalis