Lineární funkcionál se nazývá Banachova limita , pokud jsou splněny následující 3 podmínky:
1) [Poznámka 1]
2) pro jakékoli
3) pro libovolné , kde operátor směny jedná takto:
Existenci takových limitů dokázal Stefan Banach [1] . Z definice vyplývá, že a pokud posloupnost konverguje . Sada Banachových limitů je označena jako . je konvexní uzavřená množina na jednotkové sféře prostoru . Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že pro všechny je nerovnost pravdivá . Jestliže a jsou krajní body množiny , pak [2] .
Různé Banachovy limity jsou nesrovnatelné, tedy když , tak [3] .
DůkazPokud pro některé . Vezměme si
Dostaneme rozpor, který dokazuje lemma [3] .
Funkcionál může být reprezentován ve tvaru ( ) tehdy a jen tehdy , když
Aby toto zobrazení bylo za naznačených podmínek jedinečné, je nutné a postačující, aby [3] .
DůkazNutnost podmínek 1.-3. vyplývá z definice Banachových limitů. Abychom prokázali dostatečnost, definujeme funkcionál
Použití vlastností 1.-3. dostaneme:
Neboť to je pravda,proto Banachův limit. Totéž platí pro funkční . Podle konstrukce . Dokažme jedinečnost takové reprezentace pro . Nechte na .
To bylo dokázáno výše , podobná úvaha ukazuje, že . Lemma 1 dostáváme
Věta je dokázána [3] .
Pro dané , , pro jakékoli
jednotně podle [4] . Poslední rovnost se nazývá Lorentzovo kritérium . Dá se upřesnit následovně [5] :
Sekvence se nazývá téměř konvergentní k číslu , pokud jsou hodnoty všech Banachových limitů v této sekvenci stejné . Používá se následující zápis: . Množina téměř konvergentních posloupností je označena . je lineární neoddělitelný prostor , uzavřený a nikde hustý v . Množina sekvencí téměř konvergujících k číslu se označuje jako . Je jasné, že pro jakékoli [3] .
Posloupnost nemá obvyklou mez , ale . Pro kontrolu rovnosti můžete použít Lorentzovo kritérium nebo vlastnost této sekvence: .
Bude také možné použít následující lemma:
Jakákoli periodická posloupnost téměř konverguje k číslu rovnému aritmetickému průměru hodnot za období [3] .
Systém Rademacher je posloupnost funkcí
Každému lze přiřadit funkci
která se nazývá charakteristická funkce Banachovy limity . je funkce s komplexní hodnotou [6] .
Když a pro všechny , tak pro všechny [6] .
Nechte tedy