Gimlet pravidlo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2019; kontroly vyžadují 30 úprav .

Gimletovo pravidlo ( šroubové pravidlo ) - kterákoli z mnoha variant mnemotechnického pravidla pro určení směru vektorového součinu a s tím úzce související volba správného základu [a] v trojrozměrném prostoru , shoda na kladné orientaci součinu. základ v něm, a podle toho znaménko libovolného osového vektoru určeného prostřednictvím orientace základny.

Zpravidla je volba jednoho ze dvou možných směrů osového vektoru považována za čistě libovolnou; jen to musí proběhnout vždy stejně, aby nedošlo k záměně znaménka v konečném výsledku výpočtů. K tomu slouží pravidla popsaná v tomto článku: umožňují vám držet se vždy stejné volby.

Použití pravidla

Pod názvem pravidlo pravé ruky se skrývá několik dosti odlišných pravidel (včetně řady variant „pravidla levé ruky“). V praxi se lze omezit na výběr z celého souboru těchto pravidel (nebo podobných) v různých formulacích toho, které patří k univerzálnímu typu: určení znaménka vektorového součinu nebo orientace báze.

Taková volba je považována za nezbytné minimum : bez alespoň jedné verze „pravidla gimletu“ není nejen nemožné dodržovat obecně uznávané konvence, ale je také extrémně obtížné udržet konzistenci i při pracovních výpočtech. Přitom stačí jedna verze pravidla: místo všech pravidel uvedených v tomto článku nebo jim podobných [b] , můžete použít pouze jedno, pokud znáte pouze pořadí faktorů ve vzorcích obsahujících vektorové součiny.

Toto pravidlo platí zejména pro určování směru [c] tak důležitých axiálních vektorů ve fyzice, jako je vektor úhlové rychlosti charakterizující rychlost otáčení tělesa, vektor magnetické indukce B a mnoho dalších, jakož i pro určování směru takové vektory, které jsou určeny pomocí axiálního , například směru indukčního proudu pro daný vektor magnetické indukce.

Pro mnoho z těchto případů, kromě obecné formulace, která umožňuje určit směr vektorového součinu nebo orientaci báze obecně, existují speciální formulace pravidla, mnohem méně obecné, ale dobře přizpůsobené konkrétnímu situace.

Obecné (hlavní) pravidlo

Hlavním pravidlem, které lze použít jak ve variantě pravidla gimlet (screw), tak ve variantě pravidla pravé ruky, je pravidlo pro volbu směru pro báze a vektorový součin (nebo i pro jeden z těchto dvou, jelikož jeden je přímo určeno prostřednictvím druhého). Je to hlavní, protože jej stačí použít ve všech případech místo všech ostatních pravidel, pokud pouze jeden zná pořadí faktorů v odpovídajících vzorcích.

Volba pravidla pro určení kladného směru vektorového součinu a pro kladnou bázi (souřadný systém) v trojrozměrném prostoru spolu úzce souvisí.

Obě tato pravidla jsou čistě libovolná, ale je obvyklé (alespoň pokud není výslovně uvedeno jinak) předpokládat, a to je obecně uznávaná konvence, že správný základ je kladný a vektorový součin je definován tak, že pro kladný ortonormální základ (základ pravoúhlých kartézských souřadnic s jednotkovým měřítkem ve všech osách, skládající se z jednotkových vektorů ve všech osách) [d] následující: $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$

\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z,

kde šikmý křížek označuje operaci vektorového násobení.

Ve výchozím nastavení je běžné používat kladné (a tedy správné) základy. Je zvykem používat levou základnu hlavně tehdy, když je použití té pravé velmi nepohodlné nebo vůbec nemožné (např. když se náš pravý základ odráží v zrcadle, pak je odraz levý a s tím se nedá nic dělat) .

Proto jsou pravidlo pro křížový produkt a pravidlo pro výběr (konstruování) pozitivního základu vzájemně konzistentní.

Mohou být formulovány takto:

Pro vektorový produkt

Pravidlo gimletu (šroubu) pro vektorový součin : „Pokud nakreslíte vektory tak, že jejich počátky se shodují a otočíte první vektor faktoru nejkratší cestou k vektoru druhého faktoru, pak se gimlet (šroub) otáčející stejným způsobem bude šroubovat. ve směru vektorových prací“.

(Šroubem a gimletem zde rozumíme šroub s pravotočivým závitem, který je považován za obecně uznávaný standard [e] , nebo gimlet rovněž s pravotočivým šroubem na hrotu, což je také naprostá většina skutečných nástroje).
To lze přeformulovat ve směru hodinových ručiček, protože pravý šroub je podle definice takový, který se otáčí (vpřed), když jím otočíme ve směru hodinových ručiček .

Varianta gimletového (šroubového) pravidla pro vektorový součin po směru hodinových ručiček : „Pokud vektory nakreslíme tak, aby se jejich počátky shodovaly a otočíme první vektor multiplikátoru nejkratší cestou k vektoru druhého multiplikátoru a podíváme se z druhé strany tak že tato rotace je ve směru hodinových ručiček pro šipku us, vektor-součin bude směřovat pryč od nás (zašroubujte hluboko do hodin).

Pravidlo pravé ruky pro křížový součin (první možnost) : „Pokud nakreslíte vektory tak, že jejich začátky se shodují a otočíte první vektor multiplikátoru nejkratším způsobem k vektoru druhého multiplikátoru, a čtyři prsty pravé ruky ukazují směr rotace (jako by zakrýval rotující válec), pak vyčnívající palec ukáže směr vektoru součinu.

Pravidlo pravé ruky pro vektorový součin (druhá možnost) : „Pokud nakreslíte vektory tak, že jejich začátky se shodují a ukážete první (palec) prstem pravé ruky podél vektoru prvního faktoru, druhý (ukazatel) podél druhého faktoru vektor, pak třetí (prostřední) ukáže (přibližně) směr vektorového součinu“ (viz obrázek).

S ohledem na elektrodynamiku je proud (I) směrován podél palce, vektor magnetické indukce (B) je směrován podél ukazováčku a síla (F) bude směrována podél prostředníku. Mnemonicky je pravidlo snadno zapamatovatelné podle zkratky FBI (force, induction, current nebo Federal Bureau of Investigation (FBI) v překladu z angličtiny) a polohy prstů, připomínající zbraň.

Pro základy

Všechna tato pravidla lze samozřejmě přepsat pro určení orientace základen. Přepišme jen dva z nich:

Pravidlo pravé ruky pro základ : „Pokud je v základně (skládající se z vektorů podél os x, y, z ), první (palec) prst pravé ruky nasměrován podél prvního základního vektoru (tj. podél x osy ), druhá (index) podél druhé ( tedy po ose y ) a třetí (střední) bude směřovat (přibližně) ve směru třetí (podél z ), pak je to správný základ (jak je vidět na obrázku). $e_x, e_y, e_z$

Pravidlo gimletu (šroubu) pro základ : „Pokud otočíte gimlet a vektory tak, že první základní vektor směřuje k druhému nejkratším možným způsobem, pak se gimlet (šroub) bude šroubovat ve směru třetího základního vektoru, jestli je to ten správný základ."

Tomu všemu samozřejmě odpovídá rozšíření obvyklého pravidla pro volbu směru souřadnic na rovině (x je vpravo, y je nahoře, z je na nás). To druhé může být dalším mnemotechnickým pravidlem, které může nahradit pravidlo gimletu, pravé ruky atd., které chceme definovat a lze jej jakkoli rozšířit).

Výroky pravidla gimlet (screw) nebo pravidla pravé ruky pro speciální případy

Výše bylo zmíněno, že všechny různé formulace pravidla gimlet (screw) nebo pravidla pravé ruky (a dalších podobných pravidel), včetně všech níže uvedených, nejsou nutné. Není nutné je znát, pokud znáte (alespoň v jedné z možností) výše popsané obecné pravidlo a znáte pořadí faktorů ve vzorcích obsahujících vektorový součin.

Mnohá z níže popsaných pravidel jsou však dobře přizpůsobena speciálním případům jejich aplikace a proto může být docela pohodlné a snadné v těchto případech rychle určit směr vektorů [f] .

Pravidlo pravé ruky nebo gimlet (šroub) pro mechanickou rychlost otáčení

Pravidlo pravé ruky nebo gimlet (šroub) pro úhlovou rychlost

Je známo, že vektor rychlosti daného bodu je spojen s vektorem úhlové rychlosti a vektorem nakresleným z pevného bodu do daného bodu jako jejich křížový součin: ${\vec {v}}$ $\vec\omega$ ${\vec {r))$

\vec v = \vec \omega \times \vec r.

Je tedy zřejmé, že pro určení směru vektoru úhlové rychlosti lze použít šroubové pravidlo a pravidlo pravé ruky popsané výše pro křížový součin. V tomto případě však mohou být pravidla formulována ještě jednodušším a zapamatovatelnějším způsobem, protože mluvíme o velmi reálné rotaci:

Pravidlo gimletu (šroubu): „Pokud otočíte šroubem (gimletem) ve směru, ve kterém se otáčí tělo, bude se šroubovat (nebo vyšroubovávat) ve směru, ve kterém směřuje úhlová rychlost.

Pravidlo pravé ruky: „Pokud si představíme, že jsme vzali tělo do pravé ruky a otočili ho ve směru, kam směřují čtyři prsty, pak bude vyčnívající palec ukazovat ve směru, kam směřuje úhlová rychlost při takové rotaci.“

Pravidlo pravé ruky nebo gimlet (šroub) pro moment hybnosti

Pravidla pro určení směru momentu hybnosti jsou zcela podobná , což není překvapivé, protože moment hybnosti je úměrný úhlové rychlosti s kladným koeficientem [g] .

Pravidlo pravé ruky nebo gimletu (šroubu) pro moment sil

Pro moment sil (točivý moment)

\vec M = \sum_i [\vec r_i\times\vec F_i]

pravidla jsou také obecně podobná, ale formulujeme je explicitně.

Pravidlo gimletu (šroubu): „Pokud otočíte šroubem (gimletem) ve směru, ve kterém mají síly tendenci otáčet tělem, šroub se zašroubuje (nebo vyšroubuje) ve směru, ve kterém směřuje moment těchto sil.“

Pravidlo pravé ruky: „Pokud si představíme, že jsme vzali tělo do pravé ruky a snažíme se s ním otočit ve směru, kam směřují čtyři prsty (síly, které se snaží otočit tělo, směřují ve směru těchto prstů), pak vyčnívající palec bude ukazovat ve směru, kam směřuje točivý moment (moment těchto sil).

Pravidlo pravé ruky a gimlet (šroub) v magnetostatice a elektrodynamice

Pro magnetickou indukci ( Biot-Savartův zákon )

Pravidlo gimletu (šroubu): „Pokud se směr translačního pohybu gimletu ( šroubu ) shoduje se směrem proudu ve vodiči, pak se směr otáčení držadla gimletu shoduje se směrem vektoru magnetické indukce pole vytvořené tímto proudem."

Pravidlo pravé ruky: „Uchopíte-li vodič pravou rukou tak, že vyčnívající palec ukazuje směr proudu, pak zbývající prsty ukáží směr obálek vodiče čar magnetické indukce vytvořeného pole. tímto proudem, a tedy i směrem vektoru magnetické indukce , nasměrovaným všude tečně k těmto čarám."

Pro solenoid

Pravidlo pravé ruky: "Pokud uchopíte solenoid dlaní pravé ruky tak, že čtyři prsty směřují podél proudu v zatáčkách, pak odložený palec ukáže směr magnetických siločar uvnitř solenoidu."

Pro proud ve vodiči pohybujícím se v magnetickém poli

Pravidlo pravé ruky: „Pokud je dlaň pravé ruky umístěna tak, že zahrnuje siločáry magnetického pole a ohnutý palec směřuje podél pohybu vodiče, pak čtyři natažené prsty budou indikovat směr indukčního proudu."

Pro Maxwellovy rovnice

Protože operace rotoru (označovaná rot ) použitá ve dvou Maxwellových rovnicích může být zapsána formálně jako vektorový součin (s operátorem nabla ), a co je nejdůležitější, protože zvlnění vektorového pole lze přirovnat (je analogií) k úhlovému rychlost [h] rotace tekutiny, jejíž pole rychlosti proudění představuje dané vektorové pole, můžeme pro rotor použít ty formulace pravidla, které již byly popsány výše pro úhlovou rychlost.

Pokud tedy otočíte gimlet ve směru vířivého vektorového pole, pak se bude šroubovat ve směru rotorového vektoru tohoto pole. Nebo: pokud nasměrujete čtyři prsty své pravé ruky sevřené v pěst ve směru víření, pak ohnutý palec ukáže směr rotoru.

Z toho plynou pravidla pro zákon elektromagnetické indukce , například: „Ukazujete-li ohnutým palcem pravé ruky směr magnetického toku obvodem, pokud se zvětšuje, a opačný směr, pokud klesá, pak ohnuté prsty pokrývající obvod ukáží opačný směr (od - pro znaménko mínus ve vzorci) ke směru EMF v tomto obvodu, indukovaného měnícím se magnetickým tokem.

Pravidla pro Ampère-Maxwellův zákon se obecně shodují s pravidly uvedenými výše pro vektor magnetické indukce vytvářený proudem, pouze v tomto případě je nutné k elektrickému proudu procházejícím obvodem přidat tok rychlosti změny elektrické pole tímto obvodem a hovoříme o magnetickém poli z hlediska cirkulace v jeho obvodu.

Pravidla levé ruky

První pravidlo levé ruky

Pokud je dlaň levé ruky umístěna tak, že čáry indukce magnetického pole vstupují do vnitřní strany dlaně, kolmo [i] k ní, a čtyři prsty směřují podél proudu, pak je palec odsunut o 90 ° bude udávat směr síly působící z magnetického pole na vodič s proudem. Tato síla se nazývá Ampérova síla . Pro proud platí pravidlo levé ruky

Druhé pravidlo levé ruky

Pokud se náboj pohybuje a magnet je v klidu, pak pro určení směru síly platí pravidlo levé ruky: „Pokud je levá ruka umístěna tak, že čáry indukce magnetického pole vstupují do vnitřní strany dlaně kolmo k němu a čtyři prsty směřují podél proudu (kladně podél pohybu nabité částice nebo proti pohybu záporně nabité částice), pak palec odložený o 90 ° ukáže směr působící síly Lorentze nebo Ampère .

Příklady

Viz také

Komentáře

↑ Matematické detaily obecného pojmu orientace základu, který je zde probrán, viz článek Orientace .
↑ To znamená, že i jiná pravidla mohou být vhodná v libovolném počtu, ale jejich použití není nutné.
↑ Definice směru zde všude znamená volbu jednoho ze dvou opačných směrů (výběr pouze mezi dvěma opačnými vektory), to znamená, že jde o volbu pozitivního směru.
↑ To, že je to obecně pravda, si můžete ověřit na základě elementární definice vektorového součinu: Vektorový součin je vektor kolmý k oběma faktorovým vektorům, jehož velikost (délka) se rovná ploše rovnoběžníku . Totéž, který ze dvou možných vektorů kolmých na dva dané, zvolit - a tam je předmět hlavního textu, je tam uvedeno pravidlo, které vám to umožňuje a doplňuje zde uvedenou definici.
↑ Levý závit se v moderní technice používá pouze tehdy, když by použití pravého závitu vedlo k nebezpečí samovolného vyšroubování pod vlivem neustálého otáčení tohoto dílu jedním směrem - např. závit se používá na levém konci osy kola jízdního kola. Kromě toho se v regulátorech a lahvích s hořlavým plynem používají levé závity, aby se zabránilo připojení regulátoru hořlavého plynu k láhvi s kyslíkem .
↑ Zejména mohou být ve svých případech pohodlnější než obecné pravidlo a dokonce někdy mohou být formulovány dostatečně organicky, aby byly obzvláště snadno zapamatovatelné; což však, jak se zdá, neusnadňuje zapamatovat si je všechny, než pamatovat si jen jedno obecné pravidlo.
↑ I když máme co do činění s poměrně asymetrickým (a asymetricky umístěným vzhledem k ose rotace) tělesem, takže koeficient úměrnosti mezi úhlovou rychlostí a momentem hybnosti je tenzor setrvačnosti, který není redukovatelný na číselný koeficient , a vektor momentu hybnosti pak obecně není paralelní s vektorem úhlové rychlosti , nicméně pravidlo funguje v tom smyslu, že směr je naznačen přibližně, ale to stačí k výběru mezi dvěma opačnými směry.
↑ Přesně řečeno, u tohoto srovnání je také konstantní koeficient 2, ale to není v tomto tématu důležité, protože nyní mluvíme pouze o směru vektoru, nikoli o jeho velikosti.
↑ Není podmínkou.

Zdroje

Odkazy

Gimlet Rule (video) Archivováno 9. dubna 2016 na Wayback Machine