Variace (matematika)

Variace (z latinského variation - změna, změna) je termín, který do matematiky zavedl J. L. Lagrange v roce 1762 ve svém díle „Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulales intégrates indéfines“ [1] pro zápis pro a malý posun nezávisle proměnné nebo funkcionálu.

Pojem „variace“ byl zaveden jako součást metody variací při studiu extremálních problémů, založené na malých posunech argumentu a studiu toho, jak se funkcionály mění v závislosti na nich. Tato metoda je jednou z hlavních metod řešení extrémních problémů (odtud název sekce matematiky, která se tímto problémem zabývá - " variační počet ").

Související definice

Uvažujme nějaký prostor , na kterém je uveden funkcionál , a je prostorem některých parametrů. Pod obměnou argumentu obvykle rozumíme křivku , kde v , a , v prostoru procházejícím v určité blízkosti omezení a hodnota odpovídá . Když tedy prochází množina všech parametrů, probíhají variace určitou skupinou křivek počínaje bodem . $X$ $f(x)$ $PROTI$ $x_{0}\v X$ $x(t,v)$ $\alpha \leqslant t\leqslant \beta$ $\alpha \leqslant 0$ $\beta \geqslant 0$ $v\in V$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $proti$ $x_{0}$

V konečnorozměrné a nekonečněrozměrné analýze, počínaje prvním dílem J. Lagrange, se obvykle uplatňují variace ve směrech , kdy a . V tomto případě se vektor nazývá variace . Ale to není jediný případ variací, takže v geometrii, v počtu variací a zejména v teorii optimálního řízení se používají například lomené čáry , variace jehly [2] , variace spojené s klouzavými režimy [3] . $V=X$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $proti$

Volba variačního prostoru a samotná konstrukce variací je nejdůležitějším prvkem pro získání nezbytných extrémních podmínek.

Viz také

Poznámky

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formulales intégrates indéfines (francouzsky) . Turín, 1762.
↑ Bliss G. A. Přednášky o variačním počtu. - za z angličtiny. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Matematická teorie optimálních procesů. - 2. vyd. - M., 1969.