Daubechiesovy vlnky

Daubechiesovy vlnky jsou rodinou ortogonálních vlnek s kompaktní podporou počítanou iterativně. Pojmenováno po matematičce z USA , která tuto rodinu jako první postavila, Ingrid Daubechiesové .

Konstrukce vlnek Daubechies

Ke konstrukci vlnek používáme rovnici protahování a rovnici vlnky:

\varphi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}h_{k}\varphi (2t-k),

\psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}g_{k}\varphi (2t-k).

Kompaktnosti podpory funkcí a lze dosáhnout, je-li konečné číslo zvoleno tak, aby bylo dosaženo ortogonality a hladkosti vlnky, nebo byla splněna momentová podmínka. Pro Fourierovu oblast je podmínka ortogonality a hladkosti následující: $\varphi$ $\psi$ $h_{n}\neq 0$

|m_{0}(\omega )|^{2}+|m_{0}(\omega +\pi )|^{2}=1,

kde je trigonometrický polynom , s výhradou momentů ${\displaystyle |m_{0}(\omega )|=\sum _{n}{\frac {h_{n}e^{-in\omega )){\sqrt {2))))$

\left.{\frac {d^{l}\psi {\omega }}{d\omega ^{l}}}\right|_{\omega =0}=0

za převzetí formy $l=0,\ 1,\ \ldots ,\ N-1$

m_{0}(\omega )\propto \left({\frac {1+e^{i\omega }}{2}}\right)^{N}.

Pokud předpokládáme, že se jedná o polynom v , pak podmínka nulového momentu dává , kde je polynom v . ${\displaystyle M_{0}(\omega )=|m_{0}(\omega )|^{2))$ $\cos \omega$ $M_{0}(\omega )=\cos ^{2N}{\tfrac {\omega }{2))\cdot L(\omega )$ $L(\omega )=P\sin ^{2}{\tfrac {\omega }{2))$ $\cos \omega$

Pro hledání koeficientů je nutné získat zvýrazněním tvaru polynomu . Z podmínky ortogonality a podmínky nulového momentu vyplývá, že $h_{n}$ $m_{0}$ $P$

P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)).

Rozbalením na pořadí získáme explicitní tvar polynomu: ${\displaystyle (1-y)^{-N))$ $N-1$

P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=\sum _{k=0}^{N-1}{\ binární {N+k-1}{k}}y^{k}.

Spektrální faktorizací můžeme extrahovat kořeny z : $m_{0}$ $P$

m_{0}(\omega )=\mathrm {const} \left({\frac {z+1}{2}}\right)^{N}\prod _{j=1}^{N -1}(z-z_{j}).

Požadované vlnkové koeficienty budou koeficienty pro v opačném pořadí. $h_{j}/{\sqrt {2}}$ $z^{j}$

Ke konstrukci vlnek tohoto typu se také používá kaskádový algoritmus. Umožňuje bodovou konstrukci funkce měřítka ze známých koeficientů . V každém kroku algoritmu je funkce upřesněna podél osy faktorem 2. Dále se v případě potřeby použije vyhlazování . Po tom, vědění a , funkce samotné vlnky je nalezena . $\varphi$ $h_{n}$ $\varphi$ $t$ $\varphi$ $\varphi$ $h_{n}$ $\psi$

Ortogonální normalizované Daubechiesovy koeficienty nízkých řádů

D2 ( Haar )	D4	D6	D8	D10	D12	D14	D16	D18	D20
jeden	0,6830127	0,47046721	0,32580343	0,22641898	0,15774243	0,11009943	0,07695562	0,05385035	0,03771716
jeden	1,1830127	1,14111692	1,01094572	0,85394354	0,69950381	0,56079128	0,44246725	0,34483430	0,26612218
	0,3169873	0,650365	0,8922014	1,02432694	1,06226376	1,03114849	0,95548615	0,85534906	0,74557507
	-0,1830127	-0,19093442	-0,03957503	0,19576696	0,44583132	0,66437248	0,82781653	0,92954571	0,97362811
		-0,12083221	-0,26450717	-0,34265671	-0,31998660	-0,20351382	-0,02238574	0,18836955	0,39763774
		0,0498175	0,0436163	-0,04560113	-0,18351806	-0,31683501	-0,40165863	-0,41475176	-0,35333620
			0,0465036	0,10970265	0,13788809	0,1008467	6.68194092e-4	-0,13695355	-0,27710988
			-0,01498699	-0,00882680	0,03892321	0,11400345	0,18207636	0,21006834	0,18012745
				-0,01779187	-0,04466375	-0,05378245	-0,02456390	0,043452675	0,13160299
				4,71742793e-3	7,83251152e-4	-0,02343994	-0,06235021	-0,09564726	-0,10096657
					6,75606236e-3	0,01774979	0,01977216	3,54892813e-4	-0,04165925
					-1,52353381e-3	6,07514995e-4	0,01236884	0,03162417	0,04696981
						-2,54790472e-3	-6,88771926e-3	-6,67962023e-3	5.10043697e-3
						5,00226853e-4	-5,54004549e-4	-6,05496058e-3	-0,01517900
							9,55229711e-4	2,61296728e-3	1,97332536e-3
							-1,66137261e-4	3,25814671e-4	2,81768659e-3
								-3,56329759e-4	-9,69947840e-4
								5,5645514e-5	-1,64709006e-4
									1,32354367e-4
									-1,875841e-5

Viz také

Wavelet Coiflet

Odkazy

Daubechies I. Deset přednášek o vlnkách, SIAM 1992.
Základy teorie vlnek s balíčkem Mathematica Wavelet Explorer (nedostupný odkaz)
Splashes od Ingrid Daubechies