Magický čtverec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. dubna 2022; kontroly vyžadují 19 úprav .

Magie nebo magický čtverec - čtvercová tabulka naplněná různými čísly tak, že součet čísel v každém řádku, každém sloupci a na obou úhlopříčkách je stejný. Pokud jsou součty čísel pouze v řádcích a sloupcích stejné ve čtverci, pak se nazývá semimagický . Normální čtverec je magický čtverec vyplněný přirozenými čísly od do . Magický čtverec se nazývá asociativní nebo symetrický , pokud součet jakýchkoli dvou čísel umístěných symetricky kolem středu čtverce je roven . $n\krát n$ $n^{2}$ $jeden$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Normální magické čtverce existují pro všechny příkazy kromě , ačkoliv případ je triviální - čtverec se skládá z jediného čísla. Minimální netriviální případ je uveden níže, má pořadí 3. $n\geq 1$ $n=2$ $n=1$

		3	9	osm	$\šipka doprava$	patnáct
		deset	6	2	$\šipka doprava$	patnáct
		5	čtyři	9	$\šipka doprava$	patnáct
	$\swarrow$	$\šipka dolů$	$\šipka dolů$	$\šipka dolů$	$\searrow$
patnáct		patnáct	patnáct	patnáct		patnáct

Součet čísel v každém řádku, sloupci a diagonále se nazývá magická konstanta M. Magická konstanta normálního magického čtverce závisí pouze na n a je dána vztahem

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

Proč je to tak?

Nechť je čtverec se stranou Pak v něm budou čísla. $n.$ $n^{2}$

Na jedné straně součet čísel $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

Na druhou stranu, $S=nM.$

Rovnice dostaneme požadovaný vzorec.

První hodnoty magických konstant jsou uvedeny v následující tabulce (sekvence A006003 v OEIS ):

Objednat $n$	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	jedenáct	12	13
$M(n)$	patnáct	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Historicky významné magické čtverce

Náměstí Lo Shu

Lo Shu ( čínsky trad. 洛書, ex. 洛书, pinyin luò shū ) Jediný normální magický čtverec 3×3. Znali ji již ve starověké Číně , první vyobrazení na želvím krunýři pochází z roku 2200 před naším letopočtem. E.

5	deset	3
čtyři	6	osm
9	2	7

V západoevropské tradici se tomuto náměstí říká pečeť Saturna (Sigillum Saturni). Parametry čtverce: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 buněk, součet ve všech směrech je 15, součet všech čísel ve čtverci je 45). [jeden]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Náměstí nalezené v Khajuraho (Indie)

Nejstarší unikátní magický čtverec se nachází v nápisu z 11. století v indickém městě Khajuraho :

7	12	jeden	čtrnáct
2	13	osm	jedenáct
16	3	deset	5
9	6	patnáct	čtyři

Jedná se o první magický čtverec patřící do odrůdy tzv. „ďábelských“ čtverců [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Magický čtverec Yang Hui (Čína)

Ve století XIII. matematik Yang Hui se chopil problému metod pro konstrukci magických čtverců. V jeho výzkumu pak pokračovali další čínští matematici. Yang Hui považoval magické čtverce nejen třetího, ale i vyšších řádů. Některé z jeho čtverců byly poměrně složité, ale vždy dával pravidla pro jejich konstrukci. Podařilo se mu sestrojit magický čtverec šestého řádu a ten se ukázal jako téměř asociativní (pouze dva páry centrálně opačných čísel v něm nedávají dohromady 37) [3] :

27	29	2	čtyři	13	36
9	jedenáct	dvacet	22	31	osmnáct
32	25	7	3	21	23
čtrnáct	16	34	třicet	12	5
28	6	patnáct	17	26	19
jeden	24	33	35	osm	deset

Součet všech 36 čísel je 666

666 : 6 = 111

Náměstí Albrechta Dürera

Magický čtverec 4x4 zobrazený na rytině Albrechta Dürera „ Melancholia I “ je považován za nejstarší v evropském umění [4] . Dvě prostřední čísla ve spodní řadě označují datum vytvoření rytiny ( 1514 ).

17	čtyři	3	čtrnáct
6	12	13	9
deset	osm	9	13
5	17	16	2

Součet čísel na libovolné vodorovné, svislé a diagonální je 34. Tento součet se také vyskytuje ve všech rohových polích 2×2, v centrálním čtverci (10+11+6+7), ve čtverci rohových buněk (16+ 13+4+1 ), ve čtvercích postavených „tahem rytíře“ (2+12+15+5 a 3+8+14+9), ve vrcholech obdélníků rovnoběžných s úhlopříčkami (2+8+ 15+9 a 3+12+14+5 ), v obdélnících tvořených dvojicemi středních buněk na opačných stranách (3+2+15+14 a 5+8+9+12). Většina dalších symetrií je způsobena skutečností, že součet jakýchkoli dvou středově symetrických čísel je 17.

Tento čtverec je "Peť Jupitera" (Sigillum Iouis), má parametry: 4, 16, 34, 136 (velikost 4x4, 16 buněk, součet směrů je 34, součet všech čísel je 136). [jeden]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Magické čtverce od Athanasia Kirchera [1]

Mars Square

Čtverec neboli pečeť Marsu (Sigillum Martis) má tyto parametry: 5, 25, 65, 325 (velikost 5x5, 25 buněk, součet směrů je 65, součet všech čísel je 325).

12	25	osm	21	čtyři
5	13	26	9	17
osmnáct	6	čtrnáct	22	deset
jedenáct	19	2	patnáct	23
24	7	dvacet	3	16

325 : 5 = 65

Čtverec Slunce

Sluneční pečeť (Sigillum Solis) má tyto parametry: 6, 36, 111, 666 (velikost 6x6, 36 buněk, součet ve směrech je 111, součet všech čísel je 666).

6	32	3	34	35	jeden
7	jedenáct	27	28	osm	třicet
19	čtrnáct	16	patnáct	23	24
osmnáct	dvacet	22	21	17	13
25	29	deset	9	26	12
36	5	33	čtyři	2	31

666 : 6 = 111

Venušin náměstí

Pečeť Venuše (Sigillum Veneris) má tyto parametry: 7, 49, 175, 1225 (velikost 7x7, 49 buněk, součet směrů je 175, součet všech čísel je 1225).

22	47	16	41	deset	35	čtyři
5	23	48	17	42	jedenáct	29
třicet	6	24	49	osmnáct	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	čtrnáct	32	jeden	26	44	dvacet
21	39	osm	33	2	27	45
46	patnáct	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

Merkur čtverec

Pečeť Merkura (Sigillum Mercurio) má parametry: 8, 64, 260, 2080 (velikost 8x8, 64 buněk, součet směrů je 260, součet všech čísel je 2080).

osm	58	59	5	čtyři	62	63	jeden
49	patnáct	čtrnáct	52	53	jedenáct	deset	56
41	23	22	44	45	19	osmnáct	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	třicet	31	33
17	47	46	dvacet	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	padesáti	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Náměstí měsíce

Měsíční pečeť (Sigillum Lune) má tyto parametry: 9, 81, 369, 3321 (velikost 9x9, 81 buněk, součet směrů je 369, součet všech čísel je 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	třicet	71	22	63	čtrnáct	46
47	7	39	80	31	72	23	55	patnáct
16	48	osm	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	osmnáct	padesáti	jeden	42	74	34	66
67	27	59	deset	51	2	43	75	35
36	68	19	60	jedenáct	52	3	44	76
77	28	69	dvacet	61	12	53	čtyři	45

3321 : 9 = 369

Čtverce od Henryho E. Dudeneyho a Allana W. Johnsona Jr.

Pokud je do n × n čtvercové matice vložena nepřísně přirozená řada čísel , pak je tento magický čtverec netradiční . Níže jsou dva takové magické čtverce vyplněné prvočísly (ačkoli 1 není v moderní teorii čísel považována za prvočíslo). První má řád n=3 (Dudeneyův čtverec); druhý ( ve velikosti 4x4 ) je Johnsonův čtverec. Oba byly vyvinuty na začátku dvacátého století [5] :

68	2	44
čtrnáct	38	62
32	74	osm

čtyři	62	dvacet	40
44	32	čtyři	42
osm	12	74	třicet
68	osmnáct	24	patnáct

Existuje několik dalších podobných příkladů:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

jeden	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	jedenáct	787	769	773	419	149	751

Poslední čtverec, který postavil v roce 1913 J. N. Munsey, je pozoruhodný tím, že je tvořen 143 po sobě jdoucími prvočísly, s výjimkou dvou bodů: jde o jednotku, která není prvočíslem, a jediné sudé prvočíslo 2 se nepoužívá.

Čtverce s dalšími vlastnostmi

Pandiagonální magický čtverec

Pandiagonál nebo ďáblův čtverec je magický čtverec, ve kterém se součty čísel podél přerušených úhlopříček (úhlopříčky, které se tvoří, když je čtverec složen do torusu ) v obou směrech také shodují s magickou konstantou .

K dispozici je 48 čertových čtverců 4x4 ve standardním Frenicle tvaru - až po rotace a odrazy. Pandiagonální čtverec si zachovává vlastnosti při paralelním obtékání řádků nebo sloupců . Jednotku lze tedy přesunout do levého horního rohu. V rovině je 12 takových pandiagonálních čtverců. Jsou uvedeny níže:

jeden	osm	deset	patnáct
čtrnáct	jedenáct	5	čtyři
7	2	16	9
12	13	3	6

jeden	osm	deset	patnáct
12	13	3	6
7	2	16	9
čtrnáct	jedenáct	5	čtyři

jeden	12	7	čtrnáct
patnáct	6	9	čtyři
deset	3	16	5
osm	13	2	jedenáct

jeden	čtrnáct	7	12
patnáct	čtyři	9	6
deset	5	16	3
osm	jedenáct	2	13

jeden	osm	13	12
patnáct	deset	3	6
čtyři	5	16	9
čtrnáct	jedenáct	2	7

jeden	osm	13	12
čtrnáct	jedenáct	2	7
čtyři	5	16	9
patnáct	deset	3	6

jeden	12	13	osm
čtrnáct	7	2	jedenáct
čtyři	9	16	5
patnáct	6	3	deset

jeden	12	13	osm
patnáct	6	3	deset
čtyři	9	16	5
čtrnáct	7	2	jedenáct

jeden	osm	jedenáct	čtrnáct
patnáct	deset	5	čtyři
6	3	16	9
12	13	2	7

jeden	osm	jedenáct	čtrnáct
12	13	2	7
6	3	16	9
patnáct	deset	5	čtyři

jeden	čtrnáct	jedenáct	osm
patnáct	čtyři	5	deset
6	9	16	3
12	7	2	13

jeden	12	6	patnáct
čtrnáct	7	9	čtyři
jedenáct	2	16	5
osm	13	3	deset

Na torusu každé čtyři z těchto polí odpovídá jednomu čtverci. Je to proto, že pokud vyříznete torus, počínaje od základní buňky jako rohový, lze to provést čtyřmi způsoby, a to tak, že každému ze čtyř rohů základní buňky přiřadíte úhel plochého čtverce. Na toru jsou tedy pouze 3 pandiagonální čtverce. Kterýkoli ze čtyř jim odpovídajících může být použit k zobrazení torického čtverce v rovině.

Pandiagonální čtverce existují pro liché pořadí n>3, pro jakékoli pořadí dvojité parity n=4k (k=1,2,3…) a neexistují pro pořadí s jednoduchou paritou ( ). $n=4k+2$ $k=1,2,3,\tečky$

Pandiagonální čtverce čtvrtého řádu mají řadu dalších vlastností, pro které se nazývají dokonalé . Dokonalé čtverce lichého řádu neexistují. Mezi pandiagonálními čtverci s dvojitou paritou nad 4 jsou perfektní [6] .

Pandiagonální čtverce pátého řádu 3600 . Včetně torických paralelních překladů je zde 144 různých pandiagonálních čtverců. Jeden z nich je uveden níže.

jeden	patnáct	24	osm	17
9	osmnáct	2	jedenáct	25
12	21	deset	19	3
dvacet	čtyři	13	22	6
23	7	16	5	čtrnáct

Pokud je pandiagonální čtverec také asociativní, pak se nazývá ideální [7] . Příklad dokonalého magického čtverce:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	deset	51	58	osmnáct	47	57	čtrnáct	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
čtyři	45	74	3	41	79	osm	37	78
53	55	patnáct	49	63	jedenáct	48	59	16
třicet	68	25	35	64	24	31	72	dvacet
76	9	38	75	5	43	80	jeden	42
17	46	60	13	54	56	12	padesáti	61

Je známo, že neexistují žádné ideální magické čtverce řádu n = 4k+2 a žádný čtverec řádu n = 4 . Zároveň existují dokonalé čtverce řádu n = 8 . Pomocí metody konstrukce složených čtverců je možné sestrojit na základě daného čtverce osmého řádu ideální čtverce řádu n = 8k, k=5,7,9… a řádu n = 8^p, p=2,3,4… V roce 2008 byla vyvinuta kombinatorická metoda konstruující dokonalé čtverce řádu n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Konstrukce magických čtverců

Terasová metoda

Popsal Yu.V. Chebrakov v The Theory of Magic Matrices .

Pro dané liché n nakreslete čtvercovou tabulku n krát n. Na tento stůl připevníme terasy (pyramidy) ze všech čtyř stran. V důsledku toho získáme stupňovitou symetrickou postavu.

$Y$
čtyři						5
3					čtyři		deset
2				3		9		patnáct
jeden			2		osm		čtrnáct		dvacet
0		jeden		7		13		19		25
-jeden			6		12		osmnáct		24
-2				jedenáct		17		23
-3					16		22
-čtyři						21
.
	$X$	čtyři	3	2	jeden	0	jeden	2	3	čtyři

Začněte od levého vrcholu stupňovité figury a vyplňte její diagonální řady po sobě jdoucími přirozenými čísly od 1 do . $N^2$

Poté, za účelem získání klasické matice N-tého řádu, se čísla v terasách umístí na ta místa tabulky NxN, ve kterých by se nacházela, pokud by se pohybovala spolu s terasami, dokud se základny teras nepřipojí k na opačné straně stolu.

$Y$
čtyři
3
2				3	16	9	22	patnáct
jeden				dvacet	osm	21	čtrnáct	2
0				7	25	13	jeden	19
-jeden				24	12	5	osmnáct	6
-2				jedenáct	čtyři	17	deset	23
-3
-čtyři
.
	$X$	-čtyři	-3	-2	-jeden	0	jeden	2	3	čtyři

3	16	9	22	patnáct
dvacet	osm	21	čtrnáct	2
7	25	13	jeden	19
24	12	5	osmnáct	6
jedenáct	čtyři	17	deset	23

Tato metoda je navíc pravdivá i v případě, že magický čtverec nepotřebujeme skládat z čísel od 1 do N, ale také z K do N, kde 1 <= K< N.

Jiné způsoby

Pravidla pro stavbu magických čtverců spadají do tří kategorií podle toho, zda je pořadí čtverce liché, rovné dvojnásobku lichého čísla nebo rovné čtyřnásobku lichého čísla. Obecná metoda pro konstrukci všech čtverců není známa, i když se široce používají různá schémata. [8] [9] Je možné najít všechny magické čtverce řádu pouze pro , proto konkrétní postupy pro konstrukci magických čtverců pro . Nejjednodušší konstrukce je pro magický čtverec lichého řádu. Do buňky musíte vložit číslo se souřadnicemi (kde a změnit z 1 na ) (Poznámka: tento vzorec platí pro všechny čtverce lichého řádu, kromě čtverců ve tvaru . V těchto čtvercích je součet čísel na hlavní úhlopříčka je o N větší než magická konstanta.) $n$ $n/le 4$ $n>4$ $(i,j)$ $i$ $j$ $n$ $n=6k+3,k=0,1,2...$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

Ještě jednodušší je postavit konstrukci následovně. Je vzata matice nxn. Uvnitř je zabudován stupňovitý kosočtverec. V něm jsou buňky zleva nahoru podél úhlopříček vyplněny po sobě jdoucí řadou lichých čísel. Je určena hodnota centrální buňky C. Potom budou hodnoty v rozích magického čtverce následující: pravá horní buňka C-1 ; levá dolní buňka C+1 ; pravá dolní buňka Cn; levá horní buňka C+n. Vyplňování prázdných buněk ve stupňovitých rohových trojúhelníkech se provádí podle jednoduchých pravidel: 1) v řádcích se čísla zvyšují zleva doprava v krocích n + 1; 2) ve sloupcích shora dolů se čísla zvyšují s krokem n-1.

Byly také vyvinuty algoritmy pro konstrukci pandiagonálních čtverců [10] [11] a ideálních magických čtverců 9x9. [12] [13] Tyto výsledky nám umožňují sestavit magické čtverce dokonalého řádu pro . [7] [14] Existují také obecné metody pro uspořádání dokonalých magických čtverců lichého řádu . [15] [16] Byly vyvinuty metody pro konstrukci ideálních magických čtverců řádu n=8k, k=1,2,3… [17] a dokonalých magických čtverců. [18] Pandiagonální a ideální čtverce sudého-lichého řádu lze kombinovat pouze v případě, že jsou netradiční. [19] [20] [21] Přesto je možné nalézt téměř pandiagonální čtverce [22] Najdeme speciální skupinu ideálně dokonalých magických čtverců (tradičních i netradičních) [23] . $n=9(2k+1)$ $k=0,1,2,3,\tečky$ $n>3$

Příklady složitějších čtverců

Magické čtverce lichého řádu a řádu dvojité parity byly metodicky přísně vypracovány. [24] Formalizace čtverců řádu jedné parity je mnohem obtížnější, jak ilustrují následující schémata:

osmnáct	24	5	6	12
22	3	9	patnáct	16
jeden	7	13	19	25
deset	jedenáct	17	23	čtyři
čtrnáct	dvacet	21	2	osm

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	padesáti	16
17	47	46	dvacet	21	43	42	24
40	26	27	37	36	třicet	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	osmnáct	48
49	patnáct	čtrnáct	52	53	jedenáct	deset	56
osm	58	59	5	čtyři	62	63	jeden

100	99	93	7	5	6	čtyři	osm	92	91
jedenáct	89	88	84	16	patnáct	17	83	82	dvacet
třicet	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
padesáti	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	osmnáct	čtrnáct	85	86	87	13	12	90
deset	9	3	94	95	96	97	98	2	jeden

Existují desítky dalších metod pro stavbu magických čtverců.

Šachový přístup

Je známo, že šachy , stejně jako magické čtverce, se objevily před desítkami staletí v Indii . Nebylo proto náhodou, že vznikla myšlenka šachového přístupu ke stavbě magických polí. Tuto myšlenku poprvé vyjádřil Euler . Snažil se získat plný magický čtverec neustálým obcházením rytíře. To se mu však nepodařilo, protože v hlavních úhlopříčkách se součty čísel lišily od magické konstanty. Šachové rozložení však umožňuje vytvořit jakýkoli magický čtverec. Čísla se vyplňují pravidelně a řádek po řádku s přihlédnutím k barvě buněk.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. Aritmologie. - ROMÉ: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 s.
↑ Věnováno Jupiteru . Získáno 8. února 2011. Archivováno z originálu 8. února 2011. (neurčitý)
↑ V. E. Eremeev „ Tradiční věda Číny Archivní kopie z 25. února 2008 na Wayback Machine “ , Kapitola 5: Matematika .
↑ N. Makarova " Dürerův magický čtverec archivní kopie z 1. července 2011 na Wayback Machine "
↑ A. K. Dudeni „ Sifting the Numerical Sand in Search of Primes Archived 21. září 2008 na Wayback Machine “
↑ N. Makarova " Perfect magic squares Archived copy of April 28, 2011 at Wayback Machine "
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Ideální pořadí magických čtverců , kde $n=9+18k$ $k=2,3,4,\tečky$ Archivní kopie z 20. listopadu 2012 na Wayback Machine "
↑ Magický čtverec . Encyklopedie "Circumnavigation" . Archivováno z originálu 12. ledna 2002. (neurčitý)
↑ N. Makarova " Metody pro konstrukci magických čtverců (přehledový článek) Archivovaná kopie z 25. dubna 2009 na Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov „ Metoda pro konstrukci ideálního magického čtverce lichého řádu Archivováno 29. ledna 2008 na Wayback Machine “
↑
G. Aleksandrov
- " Perfektní panmagie archivováno 3. listopadu 2012 na Wayback Machine "
- " Pandiagonální čtvercová objednávka 4k Archivováno 3. listopadu 2012 na Wayback Machine "
- « Program Yabasic pro konstrukci pandiagonálního čtverce řádu n = 4 Archivováno 3. listopadu 2012 na Wayback Machine »
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Square 9 x 9 Archivováno 3. listopadu 2012 na Wayback Machine "
- " Další dokonalý čtverec 9 x 9 archivován 3. listopadu 2012 na Wayback Machine "
↑ N. Makarova " Magické čtverce devátého řádu Archivní kopie ze 14. dubna 2011 na Wayback Machine "
↑ N. Makarova “ Pandiagonální čtverce lichých řádů násobků devíti Archivní kopie z 28. dubna 2011 na Wayback Machine “
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Squares archivováno 29. února 2008 na Wayback Machine "
- " Pět příkladů dokonalých magických čtverců 21x21 Archivováno 20. listopadu 2012 na Wayback Machine "
- « Ideální magické čtverce libovolného lichého řádu n>3 Archivováno 12. července 2010 na Wayback Machine »
↑
N. Makarová
- „ Ideální magické čtverce. Seesaw method Archivováno 28. dubna 2011 na Wayback Machine »
- « Metoda pro konstrukci dokonalých magických čtverců lichého řádu pomocí latinských čtverců Archivováno 27. dubna 2011 na Wayback Machine »
↑ N. Makarova “ Metoda pro konstrukci dokonalých čtverců řádu n = 8k Archivní kopie z 27. dubna 2011 na Wayback Machine ”
↑
N. Makarová
- " Metoda pro konstrukci dokonalých magických čtverců z Reversibles Archivováno 27. dubna 2011 na Wayback Machine "
- « Metoda pro konstrukci dokonalých magických čtverců pomocí zobecněných latinských čtverců Archivováno 27. dubna 2011 na Wayback Machine »
- " Konstrukce dokonalých magických čtverců metodou houpačky archivováno 28. dubna 2011 na Wayback Machine "
↑ E. Slkuni " Netradiční pandiagonální magické čtverce 6. řádu Archivováno 2. listopadu 2007 na Wayback Machine "
↑
N. Makarová
- " Nekonvenční magické čtverce archivovány 19. února 2008 na Wayback Machine "
- " Metoda pro konstrukci netradičních dokonalých čtverců řádu n=4k+2 Archivováno 28. dubna 2011 na Wayback Machine " .
↑ G. Alexandrov " Ideální netradiční magický čtverec řádu n = 4k + 2 Archivováno 20. listopadu 2012 na Wayback Machine
↑ G. Aleksandrov " Téměř pandiagonální magické čtverce řádu 4k + 2 Archivní kopie z 20. listopadu 2012 na Wayback Machine "
↑ G. Alexandrov " Ideální dokonalý magický čtverec sudého řádu Archivováno 20. listopadu 2012 na Wayback Machine
↑ http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (nepřístupný odkaz)

Literatura

Ano, V. Uspenský. Vybrané matematické zábavy. - Rozsévač, 1924.
B. A. Kordemský. Matematický rozum . - M. : GIFML, 1958. - 576 s.
M. M. Postnikov. Magické čtverce. - M .: Nauka, 1964.
N. M. Rudin. Od magického čtverce k šachům. - M . : Tělesná kultura a sport, 1969.
E. Ya Gurevich. Tajemství starověkého talismanu. - M .: Nauka, 1969.
M. Gardner. Matematické volno. — M .: Mir, 1972.
Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika, 1989. - 352 s. — ISBN 5-7155-0218-7 .
Yu V. Chebrakov . Magické čtverce. Teorie čísel, algebra, kombinatorická analýza. - Petrohrad. : Stát Petrohrad. tech. un-t, 1995.
Yu.V. Chebrakov. Teorie magických matic . - Petrohrad. , 2008.
M. Gardner. Kapitola 17. Kouzelné čtverce a kostky // Cestování časem . - M . : Mir, 1990. (nepřístupný odkaz)
Chikazov D. Magické čtverce písmen jako symetrická textová pole. // Moderní vědecký výzkum a inovace. — Č. 11. listopadu 2012

Odkazy

Magic Squares (nedostupný odkaz) (anglicky)
sekvence A164843 v OEIS
M. Gardner " Recenze knihy od Kathleen Ollerenshaw a David Brie "
H. Heinz Magické čtverce, Magické hvězdy a další vzory
N. Skryabina, V. Dubovskoy Magické čtverce
Šachový přístup
Netradiční magické čtverečky z prvočísel
Nejmenší magické čtverce prvočísel
« Obecné vzorce magických čtverců. »
Magické čtverce // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Slovníky a encyklopedie

Velká dánština
velká čínština
Velký Rus
Velký sovět (1 ed.)
Brockhaus a Efron
Brockhaus a Efron
okolo světa
Malý Brockhaus a Efron
Britannica (online)

V bibliografických katalozích
BNF : 11944380z GND : 4168511-8 J9U : 987007543406305171 LCCN : sh85079628 NDL : 01081048 NKC : ph214645 SUDOC : 027391345