Geodetické zakřivení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. února 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Geodesic zakřivení křivky v Riemannian geometrii měří jak daleko křivka se odchyluje od geodesic . Například pro 1D křivku na 2D povrchu vnořené do 3D prostoru je zakřivení křivky promítnuté na rovinu tečnou k povrchu. Obecněji řečeno, v daném potrubí je geodetické zakřivení obvyklé zakřivení křivky (viz níže). Pokud však křivka leží v podvarietě manifoldu (například pro zakřivení povrchu ), geodetické zakřivení odkazuje na zakřivení v , a obecně se liší od zakřivení $kg}$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ v obalující odrůdě . (Okolní) zakřivení křivky závisí na dvou faktorech – zakřivení dílčího potrubí ve směru ( normální zakřivení ), které závisí pouze na směru křivky, a zakřivení v potrubí (geodetické zakřivení ), které je druhořadé množství. Spojení mezi nimi je . Zejména geodetiky na mají nulové geodetické zakřivení („přímky“), takže . ${\bar {M))$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $kg}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $M$ ${\displaystyle k=k_{n))$

Definice

Uvažujme křivku na manifoldu parametrizovanou délkou křivky s jednotkovým tečným vektorem . Jeho zakřivení se rovná normě kovariantní derivace vektoru : . Pokud leží na , geodetické zakřivení se rovná normě projekce kovariantní derivace do tečného prostoru podvariety. Naopak, normální zakřivení se rovná normě průmětu na normální svazek podvariety v uvažovaném bodě. $\gamma$ ${\bar {M))$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Jestliže okolní varieta je euklidovský prostor , pak kovariantní derivace je rovna obyčejné derivaci . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Příklad

Dovolit být jednotkové koule v trojrozměrném euklidovském prostoru . Normální zakřivení koule je 1, bez ohledu na uvažovaný směr. Velké kruhy mají zakřivení , takže mají nulové geodetické zakřivení a jsou tedy geodetické. Menší kruhy o poloměru budou mít zakřivení a geodetické zakřivení . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Některé výsledky využívající geodetické zakřivení

Geodetické zakřivení není nic jiného než obyčejné zakřivení vypočítané na podvarietě . Nezáleží na tom, jak je podmanifold umístěn v . $M$ $M$ ${\bar {M))$
Geodesic on má nulové geodetické zakřivení, což je ekvivalentní tvrzení, že je ortogonální k prostoru tečny k . $M$ $DT/ds$ $M$
Na druhou stranu normální zakřivení striktně závisí na tom, jak je podvariet umístěna v okolním prostoru, ale málo na křivce – záleží pouze na bodu na manifoldu a směru , ale ne na . $k_n$ $T$ $DT/ds$
V obecné Riemannově geometrii se derivace vypočítá pomocí Levi-Civitaho spojení okolního potrubí: . Rozdělí se na tečnou část a normální část pro subvarietu, . Tangentní část je obvyklá derivace v ( toto je speciální případ Gaussovy rovnice pro Peterson-Codazziho rovnici ), zatímco normální část je , kde je druhá kvadratická forma . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ $\nabla _{T}T$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Gauss-Bonnetův vzorec .

Viz také

Literatura

Manfredo P. do Carmo. Diferenciální geometrie křivek a ploch. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Heinrich Guggenheimer. Plochy // Diferenciální geometrie. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Geodetické zakřivení // Encyklopedie matematiky. — EMS Press, 2001.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Geodesic Curvature (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .