Herzog-Schoenheimova hypotéza

Herzog-Schönheimova domněnka je kombinatorický problém v teorii grup, který v roce 1974 předložili Marcel Herzog a Johanan Schoenheim [1] .

Buďme skupinou a nechme $G$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\))

je konečný systém levých koset podgrup skupiny . ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

Herzog a Schönheim se domnívali, že pokud tvoří rozdělení množiny s , pak (konečné) indexy nemohou být všechny odlišné. Pokud je povoleno opakování indexů, je snadné rozdělit skupinu na levé kossety - pokud je nějaká podskupina skupiny s indexem , pak se rozdělí na levé kossety podskupiny . $A$ $G$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]$ $H$ $G$ $k=[G:H]<\infty$ $G$ $k$ $H$

Subnormální podskupiny

V roce 2004 Chiwei Sun dokázal rozšířenou verzi Herzog-Schönheimovy domněnky pro případ, kdy jsou podnormální v [2] . Hlavní lemma v Sunově důkazu říká, že pokud jsou subnormální a mají konečný index v , pak ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k} [G:G_{i}]

a následně,

P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

kde je množina prvočíselných dělitelů . $P(n)$ $n$

Mirského–Newmanova věta

Jestliže je aditivní grupa celých čísel, kotřídy grupy jsou aritmetické posloupnosti . V tomto případě Herzog–Schönheimova domněnka uvádí, že jakýkoli krycí systém , rodina aritmetických posloupností, které společně pokrývají všechna celá čísla, musí pokrývat některá čísla více než jednou, nebo musí zahrnovat alespoň pár posloupností, které mají stejný rozdíl. Tento výsledek byl předložen jako domněnka v roce 1950 Palem Erdősem a krátce nato prokázán Leonem Mirskym , spolu s Donaldem J. Newmanem . Mirsky a Newman však svůj důkaz nikdy nezveřejnili. Stejný důkaz nalezli nezávisle Harold Davenport a Richard Rado . $G$ $\mathbb {Z}$ $G$ [3].

V roce 1970 byl na sovětské matematické olympiádě navržen problém geometrického zbarvení ekvivalentní Mirského-Newmanově teorému:

Předpokládejme, že vrcholy pravidelného mnohoúhelníku jsou obarveny tak, že vrcholy libovolné jedné barvy tvoří pravidelný mnohoúhelník. Pak existují dvě barvy tvořící stejné polygony [3] .

Poznámky

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , str. 150.
↑ Ne, 2004 , str. 153–175.
↑ 12 Soifer , 2008 , str. 1–9.

Literatura

M. Herzog, J. Schönheim. Výzkumný problém č. 9 // Kanadský matematický bulletin. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Jak je uvedeno v ( neděle 2004 )
Zhi Wei Sun. O Herzog-Schönheimově domněnce o jednotných obálkách skupin // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , vydání. 1 . — S. 153–175 . - doi : 10.1016/S0021-8693(03)00526-X . - arXiv : math/0306099 .
Alexander Soifer. Matematická omalovánka: Matematika barvení a barevný život jejích tvůrců . - New York: Springer, 2008. - S. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .