Hadwigerova domněnka (kombinatorická geometrie)

Hadwigerova hypotéza (kombinatorní geometrie) je hypotéza v kombinatorické geometrii , která uvádí, že jakékoli konvexní těleso v -rozměrném euklidovském prostoru může být pokryto -menšími tělesy , které jsou stejné jako zakryté těleso [1] , a že kvádrové těleso jsou jedinými tělesy, která mohou být pokryta. pouze -menšími homotetickými tělesy krytá tělesná tělesa. Platnost této hypotézy není známa pro . $n$ $2^{n}$ $2^{n}$ $n\geqslant 3$

Historie

Hypotézu předložil Hugo Hadwiger v roce 1957 [2] A.Yu. Levin a Yu.I. Petunin dokázal, že pro jakékoli- dimenzionální centrálně symetrické konvexní těleso platí nerovnost . [3] V roce 1963 Rogers získal odhad pro centrálně symetrická tělesa [4] $n$ ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n))$ $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$

Formulace z hlediska problému osvětlení

Lze ukázat, že nejmenší počet těles totožných s originálem potřebný k pokrytí -rozměrného konvexního tělesa se rovná nejmenšímu počtu směrů dostatečných k úplnému osvětlení tohoto tělesa. [5] $n$

Poznámky

↑ Boltyansky, 1965 , str. 47.
↑ Hadwiger H. Ungelöste Probleme, č. 20, Elem. der Math. 12 (1957), 121
↑ Boltyansky, 1965 , str. 48.
↑ Boltyansky, 1965 , str. 49.
↑ Boltyansky, 1965 , str. 57.

Literatura

V.G. Boltyansky , I.Ts. Gohberg . Věty a problémy kombinatorické geometrie . — M .: Nauka, 1965. — 107 s.