Toeplitzova hypotéza

Toeplitzova domněnka , také známá jako vepsaná čtvercová domněnka, je nevyřešeným problémem v geometrii . Formulace hypotézy:

Na jakékoli uzavřené rovinné Jordanově křivce lze najít čtyři body ležící ve vrcholech čtverce .

Toeplitzova domněnka platí pro konvexní křivky , hladké křivky po částech a v dalších speciálních případech. Problém formuloval Otto Toeplitz v roce 1911 [1] . Časné pozitivní výsledky dosáhli Arnold Emch [2] a Lev Shnirelman [3] . Pro hladké křivky je problém vyřešen. [čtyři]

Popis

Nechť C je Jordanova křivka . Mnohoúhelník P je vepsán do C , pokud všechny vrcholy P patří do C. Problém vepsaného čtverce je:

Je možné na každé Jordanově křivce najít vepsaný čtverec?

Nevyžaduje, aby vrcholy čtverce byly v nějakém konkrétním pořadí.

Pro některé křivky, jako je kruh a čtverec , můžete zadat nekonečný počet vepsaných čtverců. Do tupého trojúhelníku lze vepsat přesně jeden čtverec .

Walter Stromquist dokázal, že čtverec lze vepsat do každé lokálně monotónní jednoduché rovinné křivky [5] . Důkaz platí pro křivky C , které mají vlastnost lokální monotonie: pro jakýkoli bod p , který leží na C , existuje okolí U ( p ) takové, že žádná tětiva C v tomto okolí není rovnoběžná s daným směrem n ( p ) ( směr osy y). Lokálně monotónní křivky zahrnují všechny konvexní křivky a všechny po částech dané spojitě diferencovatelné křivky bez cípů .

Kladná odpověď je známá i pro středově symetrické křivky [6] .

Varianty a zobecnění

Je známo, že pro jakýkoli daný trojúhelník T a Jordanovu křivku C existuje trojúhelník podobný T a vepsaný v C [7] [8] . Navíc množina vrcholů takových trojúhelníků je v C hustá [9] . Zejména vždy existuje vepsaný rovnostranný trojúhelník . Do jakékoli Jordanovy křivky lze také vepsat obdélník .

Některá zobecnění problému vepsaného čtverce se zabývají mnohoúhelníky vepsanými do křivek. Existují také zobecnění pro vyšší dimenzionální euklidovské prostory . Stromquist tedy dokázal, že do každé souvislé uzavřené křivky , která splňuje „podmínku A“, lze vepsat čtyřúhelník se stejnými stranami a stejnými úhlopříčkami; „podmínka A“ je taková, že žádné dva tětivy C v odpovídajícím okolí libovolného bodu nesmí být kolmé [5] . Tato třída křivek zahrnuje všechny křivky C 2 . Nielsen a Wright dokázali, že každé symetrické kontinuum obsahuje vepsané obdélníky [6] . Heinrich Guggenheimer dokázal, že každá nadplocha , C 3 - difeomorfní ke kouli S n −1 , obsahuje 2 n vrcholů pravidelné euklidovské hyperkrychle [10] .

Poznámky

  1. ↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), s. 197.
  2. ↑ Emch, Arnold (1916), O některých vlastnostech mediánů uzavřených spojitých křivek tvořených analytickými oblouky , American Journal of Mathematics vol . 38 (1): 6–18 , DOI 10.2307/2370541 
  3. ↑ Lev Shnirelman . O některých geometrických vlastnostech uzavřených křivek  // Uspekhi Mat . - 1944. - T. 10 . - S. 34-44 .
  4. ↑ The Rectangular Peg Problem , 19. května 2020 , < https://arxiv.org/abs/2005.09193 > Archivováno 27. června 2020 na Wayback Machine 
  5. ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), Vepsané čtverce a čtvercové čtyřúhelníky v uzavřených křivkách , Mathematika T. 36 (2): 187–197 , DOI 10.1112/S0025579300013061 
  6. ↑ 1 2 Nielsen, Mark J. & Wright, SE (1995), Obdélníky vepsané do symetrických kontinuí , Geometriae Dedicata T. 56 (3): 285–297 , DOI 10.1007/BF01263570 
  7. ↑ Meyerson, Mark D. (1980), Rovnostranné trojúhelníky a spojité křivky, Fundamenta Mathematicae T. 110 (1): 1–9  .
  8. ↑ Kronheimer, EH & Kronheimer, PB (1981), The tripos problem , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 24 (1): 182–192 , DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182 
  9. ↑ Nielsen, Mark J. (1992), Trojúhelníky vepsané do jednoduchých uzavřených křivek , Geometriae Dedicata vol . 43 (3): 291–297 , DOI 10.1007/BF00151519 
  10. ↑ Guggenheimer, H. (1965), Konečné množiny na křivkách a plochách , Israel Journal of Mathematics vol. 3: 104–112 , DOI 10.1007/BF02760036 

Další čtení

Externí odkazy