Hlavní hodnota Cauchyho integrálu

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Hlavní hodnota Cauchyho integrálu je zobecněním pojmu Riemannův integrál , který umožňuje vypočítat některé divergentní nevlastní integrály . Myšlenka hlavní hodnoty Cauchyho integrálu spočívá v tom, že když se integrační intervaly přiblíží k singulárnímu bodu z obou stran „stejnou rychlostí“, singularity se navzájem vyrovnají (kvůli různým znaménkům vlevo a vpravo) a v důsledku toho můžete získat konečnou hranici, která se nazývá hlavní hodnota Cauchyho integrálu. Tento koncept má důležité aplikace v komplexní analýze ( Sochocki-Plemelja teorém ) [1] .

Takže například integrál je nevlastní integrál druhého druhu , neexistuje, ale existuje ve smyslu hlavní hodnoty Cauchyho integrálu. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Definice hlavní hodnoty Cauchyho integrálu

Definice (pro singulární bod "∞")

Definice (pro singulární bod "∞"). Nechť f (x) je definováno na intervalu (-∞, + ∞) a f ∈ R ([- A, A]) pro všechna A > 0, ale nevlastní integrál prvního druhu diverguje. Pokud existuje konečná mez $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

pak se tato hranice nazývá hlavní hodnota Cauchyho integrálu (nebo hlavní hodnota ve smyslu Cauchyho) pro funkci f v definičním oboru (-∞, + ∞) a značí se symbolem

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

V tomto případě se říká, že funkce f (x) je integrovatelná na intervalu (-∞, + ∞) ve smyslu Cauchyho (nebo integrovatelná v oboru (-∞, + ∞) ve smyslu Cauchyho).

Příklad. Uvažujme nevlastní integrál. Tento integrál diverguje, protože například integrál bude divergentní, ale existuje hlavní hodnota tohoto integrálu ve smyslu Cauchyho: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Teorém

Pokud je f (x) liché na (-∞, + ∞) a f ∈ R ([- A, A]) pro všechna A > 0, pak f je Cauchyho integrovatelná na (-∞, + ∞).
Je-li f (x) sudé na (-∞, + ∞) a f ∈ R ([- A, A]) pro všechna A > 0, pak je konvergence integrálu ekvivalentní konvergenci integrálu $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Definice (pro konečný singulární bod)

Definice (pro konečný singulární bod). Nechť funkce f : [a, b] → R splňuje podmínky:

existuje δ > 0 tak, že f ∈ R ([a, c - ε]) a f ∈ R ([c + ε, b]) pro všechna ε ∈ (0, δ)
divergentní je nevlastní integrál druhého druhu $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Pokud existuje konečná mez

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\vpravo),

pak se tato limita nazývá hlavní hodnota Cauchyho integrálu (nebo hlavní hodnota ve smyslu Cauchyho) pro funkci f na intervalu [a, b] a značí se symbolem

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Navíc se říká, že funkce f (x) je Cauchy integrovatelná na [a , b ] (nebo integrovatelná na segmentu [a, b] ve smyslu Cauchyho).

Příklad. Uvažujme nevlastní integrál druhého druhu (viz obrázek) Diverguje, protože například integrál diverguje. V tomto případě, v chápání hlavní hodnoty podle Cauchyho, tento integrál existuje a je roven nule: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}

Případ několika singulárních bodů na intervalu integrace

Příklad. Uvažujme nevlastní integrál (viz obrázek). Singulární body integrandu f (x) = 2 x / (x²-1) jsou body -1, 1 a ∞. Tento integrál diverguje, proto diverguje např. integrál $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{zarovnáno))

Je zřejmé, že f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) pro všechna ε ∈ (0 , 1) (protože je ohraničen na každý z těchto segmentů). Zkontrolujme integrovatelnost funkce f ve smyslu Cauchyho:

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{aligned}}

Proto je funkce f Cauchy integrovatelná na intervalu (-∞, + ∞).

Poznámky

↑ Pavlov V.P. Hlavní hodnota integrálu // Fyzická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohmův efekt - Dlouhé čáry. — 707 s. — 100 000 výtisků.

Zdroje

Dorogovtsev A. Ya. Matematická analýza . - Kyjev, Vyšší škola, 1985.