Sochotského-Plemelyova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. října 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Sochocki-Plemelja teorém (polský pravopis Sochocki ) je teorém v komplexní analýze , který pomáhá při hodnocení určitých integrálů. Verze skutečné čáry ( viz níže ) se často používá ve fyzice, i když jen zřídka uváděná jménem. Věta je pojmenována po Julianu Sochockim , který ji dokázal v roce 1868, a Josipu Plemeljovi , který ji znovu objevil jako hlavní složku svého řešení problému Riemann-Hilbert v roce 1908.

Prohlášení věty

Nechť C je hladká uzavřená jednoduchá křivka v rovině a φ je analytická funkce na C . Pak integrál Cauchyho typu

{\frac {1}{2\pi i))\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z)),

definuje dvě analytické funkce z , φ i uvnitř C a φ e vně. Sokhotsky-Plemeljovy vzorce spojují hraniční hodnoty těchto dvou analytických funkcí v bodě z na C a Cauchyho hlavní hodnotu integrálu: ${\mathcal {P}}$

\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i)){\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d \zeta }{\zeta -z))+{\frac {1}{2))\varphi (z),

\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d \zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

Následná zobecnění odstraňují požadavky na hladkost na křivce C a funkci φ .

Verze skutečné linky

Verze této věty pro integrály na reálné přímce je zvláště důležitá.

Nechť ƒ je komplexní funkce, která je definovaná a spojitá na reálné ose, a nechť aab jsou reálná čísla taková, že a < 0 < b . Pak

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

kde označuje Cauchyovu hlavní hodnotu. ${\mathcal {P}}$

Důkaz pro skutečnou linii

Jednoduchý důkaz je následující.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2 })}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2 }+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.

U prvního členu si všimněte, že je to rodící se delta funkce , a proto se v limitě blíží k Diracově delta funkci. Proto je první člen roven . ${\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})))$ $\mp i\pi f(0)$

Pro druhý člen si všimneme, že faktor má tendenci k 1 pro | x | ≫ ε , a má tendenci k 0 jako | x | ≪ ε, totiž symetrickou funkci vzhledem k 0. V limitě tedy získáme integrál ve smyslu Cauchyho hlavní hodnoty. ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$

Aplikace do fyziky

V kvantové mechanice a kvantové teorii pole , jeden často musí ohodnotit integrály formy

\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),

kde E je nějaká energie a t je čas. V této podobě je výraz nedefinovaný (protože časový integrál nekonverguje), takže se obvykle upravuje přidáním záporného reálného koeficientu k t v exponentu a následným posunutím tohoto koeficientu na nulu:

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E )\exp(-iEt-\varepsilon t)

=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{Ei\varepsilon }}\, dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

kde je v posledním kroku použita Sochockiho věta.

Viz také

Singulární integrální operátory na uzavřených křivkách
Kramers-Kronigovy vztahy
Hilbert se proměňuje

Literatura

Weinberg, Steven . Kvantová teorie polí, svazek 1 :Základy . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Kapitola 3.1.
Merzbacher, Eugene. Kvantová mechanika (neopr.) . - Wiley, John & Sons, Inc., 1998. - ISBN 0-471-88702-1 . Příloha A, rovnice (A.19).
Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, sv. 3 (anglicky) . — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
Plemelj, Josip. Problémy ve smyslu Riemanna a Kleina . — New York: Interscience Publishers , 1964.
Gakhov, F.D. (1990), Problémy s hraniční hodnotou. Dotisk překladu z roku 1966 , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Muskhelishvili, N.I. Singulární integrální rovnice, okrajové problémy teorie funkcí a jejich aplikace v matematické fyzice (anglicky) . Melbourne: Odd. zásobování a vývoje, Letecké výzkumné laboratoře, 1949.
Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), příklad 3.3.1 4
Sokhotskii, YW O určitých integrálech a funkcích používaných v řadových expanzích (anglicky) . -Svatý. Petrohrad, 1873.