Vratný prvek

Invertibilní prvek je prvek kruhu s jednotou , pro který existuje inverzní prvek vzhledem k násobení. Jiný název je jednotkový dělitel . Také se hlavně v překladech z angličtiny vyskytuje název unit , což může způsobit záměnu s jediným prvkem (v anglických zdrojích se používají dva různé termíny: unit element a Identity element [1] ).

Jinými slovy, prvek prstence je považován za invertibilní, pokud existuje takový prvek $A$ $b$

ab=ba=e,

kde je prvek identity prstenu. $E$

Množina všech invertibilních prvků prstenu tvoří multiplikativní grupu , nazývanou skupina invertibilních prvků (méně běžně skupina jedniček ). Tato skupina je vždy neprázdná, protože obsahuje alespoň identitu kruhu.

Přidružené prvky

Jestliže je invertibilní prvek, pak prvky reprezentovatelné jako nebo se nazývají spojené s . $A$ $a\cdot x$ $x\cdot a$ $X$

Obvykle se pro oblasti integrity používá termín jednotkový dělitel a koncept přidruženého prvku .

Skupina jednotek

Invertibilní prvky kruhu R tvoří násobením grupu U ( R ) , jednotkovou grupu kruhu R. Další běžné symboly jsou R × , R * a E ( R ) (z německého Einheit ).

V komutativním kruhu R působí skupina jednotek U ( R ) na R prostřednictvím násobení. Dráhy těchto akcí se nazývají soubory sdružených prvků ; jinými slovy, existuje vztah ekvivalence ~ na R nazývaný asociace , kde

r ~ s

znamená, že existuje jednotka u taková, že r = us .

Lze ukázat , že U je funktor z kategorie kruhů do kategorie grup : každý kruhový homomorfismus f : R → S generuje grupový homomorfismus U ( f ) : U ( R ) → U ( S ) , protože f mapuje jednotky k jednotkám.

Kruh R je kruh právě tehdy, když U ( R ) = R \{0}.

Příklady

V kruhu celých čísel jsou dva jednotkové dělitele : +1 a −1.
V kruhu zbytků modulo m jsou invertibilní prvky zbytky spojené s modulo m . Tvoří multiplikativní skupinu zbytku kruhu .
V kruhu Gaussových celých čísel jsou čtyři jednotkové dělitele : . $+1,\-1,\i,\-i$
V polynomiálním kruhu nad polem je jakýkoli nenulový prvek pole koeficientu (jako polynom nulového stupně) dělitelem jednotky.

Poznámky

↑ Porovnat dělitele jednotek Archivováno 19. prosince 2021 na Wayback Machine a Unital ring Archivováno 19. prosince 2021 na Wayback Machine

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.