Podíl jednotky

Zlomek jedné (alikvóta) je racionální číslo ve tvaru zlomku , jehož čitatel je jedna a jmenovatel kladné celé číslo . Jednotkový zlomek je tedy převrácená hodnota kladného celého čísla 1/ n . Příklady jsou 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 atd.

Elementární aritmetika

Vynásobením libovolných dvou zlomků jedné dostaneme zlomek jedné:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Přidání , odečtení nebo dělení dvou zlomků jednotky však obecně dává výsledek odlišný od zlomků jednotky :

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Modulární aritmetika

Zlomky jedničky hrají důležitou roli v modulovém srovnání , protože mohou být použity k redukci modulového dělení na výpočet největšího společného dělitele. Konkrétně předpokládejme, že chceme vypočítat výsledek dělení x modulo y . Aby bylo možné definovat dělení x , modulo y , xay musí být coprime . Potom pomocí rozšířeného Euklidova algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele můžeme najít a a b takové, že

\displaystyle ax+by=1,

odkud plyne

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y)),

což je ekvivalentní

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

K dělení x (modulo y ) je tedy potřeba jednoduše vynásobit a .

Konečný součet zlomků jednotky

Jakékoli kladné racionální číslo může být reprezentováno jako součet zlomků jedné několika způsoby. Například,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

Staří Egypťané používali k zápisu racionálních čísel součty různých zlomků jedničky a takové součty se často nazývají egyptské zlomky . Až dosud je zájem o analýzu metod používaných ve starověku k výběru možných zobrazení a výpočtu takových zobrazení [1] . Téma egyptských zlomků je také v zájmu moderní teorie čísel . Například Erdős-Grahamova domněnka a Erdős-Straussova domněnka se týkají součtů zlomků jednotek, stejně jako definice harmonických rudních čísel .

V teorii geometrických grup jsou skupiny trojúhelníků klasifikovány jako euklidovské, sférické a hyperbolické v závislosti na tom, zda součet jednotkových zlomků s nimi spojených je roven jedné, menší než jedné nebo větší než jedné.

Posloupnosti zlomků jedné

Mnoho známých nekonečných řad má členy ve formě zlomků jedné. Mezi nimi:

Harmonická řada je součtem všech kladných zlomků jedné. Tento součet se liší a jeho dílčí součty

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

jsou těsně aproximovány ln n + γ , jak n roste .

Basilejská úloha uvažuje součet druhých mocnin zlomků jedné, který konverguje k π 2 /6.
Aperiho konstanta je součet krychlí zlomků jedné.
Geometrické posloupnosti a inverzní Fibonacciho řada jsou další příklady zlomků jedné řady.

Zlomkové matice

Hilbertova matice má jako prvky čísla

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Má neobvyklou vlastnost – všechny prvky jeho inverzní matice jsou celá čísla [2] . Podobným způsobem definoval Richardson [3] matici s prvky

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

kde F i označuje i -té Fibonacciho číslo . Tuto matici nazval "Filbertova matice" a má stejnou vlastnost [4] .

Sousední zlomky

Dva zlomky se nazývají sousední , pokud je jejich rozdíl zlomkem jedné [5] [6] .

Zlomky jednoty v teorii pravděpodobnosti a statistice

V diskrétním rovnoměrném rozdělení jsou všechny pravděpodobnosti zlomkem jedné. Podle principu lhostejnosti pravděpodobnosti tohoto typu často vznikají ve statistických výpočtech [7] . Zipfův zákon navíc říká, že pro mnoho pozorovatelných událostí, včetně výběru objektů z uspořádané sekvence, je pravděpodobnost, že bude vybrán n-tý objekt, úměrná zlomku jedné 1/ n [8] .

Zlomky jednoty ve fyzice

Energetické hladiny fotonů , které mohou být absorbovány nebo emitovány atomem vodíku, podle Rydbergova vzorce , jsou úměrné rozdílu mezi dvěma zlomky jedné. Vysvětlení tohoto jevu poskytuje Bohrův model , podle kterého jsou energetické hladiny elektronových orbitalů v atomu vodíku nepřímo úměrné druhé mocnině zlomků jednoty a energie fotonu je kvantována rozdílem hladin [9] .

Arthur Eddington uvedl, že konstanta jemné struktury je zlomkem jedné, nejprve 1/136 a poté 1/137. Toto tvrzení se ukázalo jako nesprávné a moderní odhad hodnoty konstanty jemné struktury je (až na 6 desetinných míst) 1/137,036 [10] .

Viz také

Egyptské zlomky

Poznámky

↑ Chlap, 2004 , str. 252-262.
↑ Choi, 1983 , str. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , str. 268-275.
↑ Přilehlý zlomek na webu PlanetMath .
↑ Weisstein, Eric W. Adjacent Fraction na webu Wolfram MathWorld .
↑ Velština, 1996 , s. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , str. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Literatura

Richard K Guy. Neřešené problémy v teorii čísel. — 3. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Man Duen Choi. Tricks or treats with Hilbert matrix // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , čís. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. Filbertova matice // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , no. 3 . - . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Moderní atomová a jaderná fyzika. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Eddington hledá základní teorii: klíč k vesmíru. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. Aspekty statistické inference. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Wiley Series in Probability and Statistics). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Teorie Zipfova zákona a dále. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Poznámky z přednášek z ekonomie a matematických systémů). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .