Isophota

Isofot ( angl. Isophote ) - křivka na osvětlené ploše, spojující body se stejným jasem . Předpokládejme, že osvětlení je vytvořeno paprskem rovnoběžných paprsků světla a jas je vyjádřen skalárním součinem $b$

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .

${\vec {n}}(P)$ je jednotkový vektor kolmý k povrchu v bodě a vektor je jednotkový vektor ve směru šíření světla. V případě , kdy je světlo kolmé na kolmici k povrchu, je bodem bod na siluetě povrchu ve směru . Jas 1 znamená, že světelný paprsek je kolmý k povrchu. V rovině, v rámci předpokladu, že svazek paprsků je rovnoběžný, nebudou žádné izofoty. $P$ ${\vec {v}}$ $b(P)=0$ $P$ ${\vec {v}}$

V astronomii je izofoto křivka na obrázku objektu, která spojuje body stejné jasnosti. [jeden]

Aplikace a příklad

V počítačově podporovaných konstrukčních systémech se izofoty používají k optické kontrole hladkosti spojování povrchů. Pro plochu (danou implicitně nebo parametricky), která je dostatečně diferencovatelná, závisí normálový vektor na prvních derivacích. V důsledku toho je diferencovatelnost izofotů a jejich geometrická spojitost o 1 řád menší než samotný povrch. Pokud jsou v bodě na povrchu spojité pouze tečné roviny (hladkost řádu 1), pak mají izofoty zlomy (hladkost pouze nulového řádu).

V následujícím příkladu jsou dvě protínající se Bézierovy plochy pokryty částí třetí plochy. Na obrázku vlevo se krycí plocha dotýká Bézierových ploch s řádem hladkosti 1, na obrázku vpravo s řádem hladkosti 2. Z obrázků samotných je rozdíl mezi situacemi špatně patrný, ale studium geometrického spojitost izofot ukazuje: na obrázku vlevo mají izofoty zlomy (hladkost řádu 0) a na obrázku vpravo vypadají izofoty jako hladké (hladkost řádu 1).

Izofoty na dvou Bézierových plochách: na levé straně jsou viditelné zlomy, napravo hladké izofoty.

Stanovení izofotových bodů

na implicitním povrchu

Pro implicitně daný povrch s rovnicí splňují izofoty rovnost $f(x,y,z)=0$

{\frac {\nabla f\cdot {\vec {v))}{|\nabla f|}}=c\ .

To znamená: body na izofotě s daným parametrem představují řešení nelineární soustavy $C$

$\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v))-c\;|\nabla f(x,y,z )|=0\ ,$

kterou lze považovat za průsečík dvou implicitně definovaných ploch. Pomocí algoritmu prezentovaného Bajajem et al (viz odkazy) lze vypočítat polygon z izofotických bodů.

na parametricky definované ploše

V případě parametricky zadaného povrchu má rovnice pro izofoty tvar ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

{\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,

což je ekvivalentní výrazu

$\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Tato rovnice popisuje implicitně definovanou křivku v rovině st, kterou lze pomocí vhodného algoritmu znázornit a převést pomocí na body na ploše. ${\vec {S}}(s,t)$

Literatura

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , str. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. kol.: Biometrické rozpoznávání , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , str. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
C. T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods , Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , s. 209.

Poznámky

↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , str. 178.