Cauchy-Lagrangeův integrál

Cauchy-Lagrangeův integrál je integrálem pohybových rovnic ideální tekutiny ( Eulerovy rovnice ) v případě potenciálních toků .

Variace názvu

V ruskojazyčné literatuře se spolu s názvem Cauchyho-Lagrangeův integrál [1] a Lagrangeův-Cauchyho integrál [2] používají termíny Cauchyho integrál [3] , Lagrangeův integrál . V anglické literatuře integrál buď nemá zvláštní název [4], nebo je považován za speciální formu Bernoulliho integrálu pro nestacionární toky ( anglicky unsteady Bernoulliho rovnice [5] , Bernoulliho věta pro nestacionární tok potenciálu [6] )

Historické pozadí

Obecně řečeno, Cauchy-Lagrangeův integrál sestavil v roce 1755 L. Euler [7] . Později integrál použil Lagrange ve své práci o teorii ideálního proudění tekutin [8] a Cauchy ve své práci o teorii gravitačních vln na povrchu tekutiny [9] .

Formulace

Proudění nestlačitelné tekutiny v gravitačním poli

V konkrétním případě potenciálního proudění ideální nestlačitelné tekutiny v rovnoměrném gravitačním poli má Cauchy-Lagrangeův integrál tvar

${\frac {\partial \varphi }{\partial t))+{\frac ({\text{grad))^{2}\,\varphi }{2))+{\frac {p} {\rho }}+gz=f(t),$

kde je rychlostní potenciál , je tlak v kapalině, je její hustota, je zrychlení volného pádu , , , jsou kartézské souřadnice (osa směřuje svisle nahoru, proti gravitaci). Zde je určitá funkce času, kterou lze při změně rychlostního potenciálu považovat za shodně rovnou nule (při takové změně se nemění rychlostní pole určené prostorovými derivacemi potenciálu). $\varphi (x,y,z,t)$ $p(x,y,z,t)$ $\rho$ $G$ $X$ $y$ $z$ $z$ $f(t)$ ${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$

Obecný případ

V obecném případě potenciálního proudění ideální tekutiny platí Cauchy-Lagrangeův integrál, pokud existuje jednoznačný vztah mezi hustotou a tlakem (takový proces se nazývá barotropní ). V tomto případě bude pole sil těla (síla těla působící na kapalinu na jednotku hmotnosti) nutně potenciální: kde je potenciál síly těla (nezaměňovat s potenciálem rychlosti ) a Cauchy-Lagrangeův integrál je napsaný ve formuláři $\rho =\rho (p)$ ${\vec {F}}={\text{grad}}\,U,$ $U(x,y,z,t)$ $\varphi$

${\frac {\partial \varphi }{\partial t))+{\frac {({\text{grad)))\,\varphi )^{2)){2))+\int {\ frac {dp}{\rho (p)}}-U=f(t).$

Viz také

Bernoulliho integrál
Bernoulliho rovnice pro nestacionární tok potenciálu

Poznámky

↑ Sedov L.I. Mechanika kontinua. - M. : Nauka, 1970. - T. 2. - 568 s.
↑ Loitsyansky L. G. Mechanika kapalin a plynů, 2003 , §42. Lagrangeův-Cauchyho integrál.
↑ Kochin N.E., Kibel I.A., Rose N.V. Teoretická hydromechanika. - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 s.
↑ Jehněčí G. Hydrodynamika. — M. — L .: OGIZ. GITTL, 1947. - 928 s.
↑ Kundu PK, Cohen IM mechanika tekutin. - Academic Press, 2002. - 730 s.
↑ Faber T.E. Dynamika tekutin pro fyziky. - Cambridge University Press, 1995. - 440 s.
↑ Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlín, 1757 (1755). - T. 11 . — S. 274–315 . , ruský překlad: Euler L. Obecné zákony pohybu tekutin // Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Mechanika kapalin a plynů. - 1999. - č. 6 . , historický komentář: Michajlov G.K. Formování hydrauliky a hydrodynamiky v dílech akademiků Petrohradu (XVIII. století) // Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Mechanika kapalin a plynů. - 1999. - č. 6 .
↑ Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. — 1781.
↑ Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par potápěčů savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Vědy, matematika a fyzika. - 1827. - T. 1 .

Literatura

Loytsyansky L.G. Mechanika kapaliny a plynu. - M .: Drop, 2003. - 842 s. — ISBN 5-7107-6327-6 .