Interpolační vzorec Brahmagupty

Interpolační vzorec Brahmagupty je interpolační vzorec druhého polynomiálního řádu, který našel indický matematik a astronom Brahmagupta (598-668) na začátku 7. století našeho letopočtu. Poetický popis tohoto vzorce v sanskrtu se nachází v dodatečné části Khandakhodyaka, dílo dokončené Brahmaguptou v roce 665 [1] . Stejné dvojverší se nachází v jeho dřívějším díle Dhyana-graha-adhikara, jehož přesné datum nebylo stanoveno. Vnitřní provázanost děl však naznačuje, že vznikla dříve než hlavní dílo vědce, dokončené v roce 628, „ Brahma-sphuta-siddhanta “, takže lze připsat vytvoření interpolačního vzorce druhého řádu. do první čtvrtiny 7. století [1] . Brahmagupta byl první, kdo našel a použil vzorec konečných diferencí druhého řádu v historii matematiky [2] [3] .

Brahmaguptův vzorec se shoduje s Newtonovým interpolačním vzorcem druhého řádu , který byl nalezen (znovu objeven) po více než tisíci letech.

Výzva

Jako astronom se Brahmagupta zajímal o odvození přesných hodnot pro sinus z malého počtu známých tabulkových hodnot pro tuto funkci. Byl tedy postaven před úkol najít hodnotu podle hodnot funkce dostupné v tabulce: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Za předpokladu, že hodnoty funkce jsou počítány v bodech s konstantním krokem , ( pro všechny ), Aryabhata navrhl použít pro výpočty (tabulkové) první konečné rozdíly: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

Matematici před Brahmaguptou používali zřejmý lineární interpolační vzorec

f(x)=f_{r}+tD_{r}

kde . $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta nahradil tento vzorec obloukovou funkcí konečných rozdílů, což umožňuje získat přesnější hodnoty interpolované funkce v pořadí. $D_{r}$

Brahmaguptův výpočetní algoritmus

V terminologii Brahmagupty se rozdíl nazývá minulý segment (गत काण्ड), užitečný segment se nazývá (भोग्य काण्ड). Délka segmentu k bodu interpolace v minutách se nazývá pahýl (विकल). Nový výraz, který má být nahrazen, se nazývá správný užitečný segment (स्फुट भोग्य काण्ड). Výpočet správného užitečného segmentu je popsán v dvojverší [4] [1] : $D_{{r-1}}$ $D_{r}$ $x-x_{r}$ $D_{r}$

Podle komentáře Bhuttopaly ( X století ) jsou verše přeloženy takto [ 1 ] [ 5 ] : Pokud více, odečtěte. Získáte správný užitečný rozdíl [6] .

900 minut (15 stupňů) je interval mezi argumenty tabulkových hodnot sinusu, které používá Brahmagupta. $h$

Brahmaguptova formule v moderní notaci

V moderní notaci je výpočetní algoritmus Brahmagupta vyjádřen pomocí vzorců:

{\begin{aligned}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{aligned}}

Toto je Newtonův interpolační vzorec druhého řádu [7] [8] .

Důkaz

Není známo, jak Brahmagupta získal tento vzorec [1] . V naší době se takové vzorce dokazují pomocí expanze funkcí v právu na růst rovnosti v Taylorově řadě v bodě . Vzorec však lze dokázat i elementárními metodami: Brahmaguptův vzorec po nahrazení nastaví parabolu procházející třemi body . K odvození tohoto vzorce stačí najít koeficienty této paraboly řešením soustavy tří lineárních rovnic definovaných těmito body. $f(x+kh),k=1,2,...$ $X$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Přesný vzorec

Počítačový výpočet ukazuje, že s tabulkou 7 hodnot sinusu v uzlech s krokem 15 stupňů mohl Brahmagupta vypočítat tuto funkci s maximální chybou ne větší než 0,0012 a průměrnou chybou ne větší než 0,00042.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Interpolace druhého řádu v indické matematice až do patnáctého století // Indian Journal of History of Science: časopis. — Sv. 4 , ne. 1 a 2 . - str. 86-98 .
↑ Van Brummelen, GlenMatematika nebes a země: raná historie trigonometrie (anglicky) . - Princeton University Press , 2009. - S. 329. - ISBN 9780691129730 . (str. 111)
↑ Meijering, Erik. Chronologie interpolace od starověké astronomie k modernímu zpracování signálu a obrazu // Proceedings of the IEEE : deník. - 2002. - březen ( roč. 90 , č. 3 ). - str. 319-342 . - doi : 10.1109/5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. Kulturní základy matematiky: povaha matematického důkazu a přenos kalkulu z Indie do Evropy v 16. století. CE (anglicky) . — Pearson Education India, 2007. - S. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ Závěrečná část algoritmu je způsobena tím, že matematici před Brahmaguptou a ještě dlouho po něm nepoužívali koncept záporného čísla. Ve skutečnosti se tedy nevypočítal rozdíl, ale modul rozdílu a pak se toto nezáporné číslo přičetlo nebo odečetlo v závislosti na znaménku rozdílu, určeném pomocí nerovnosti. ${\frac {|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. Počet konečných rozdílů (neopr.) . - AMS Chelsea Publishing, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Úvod do numerické analýzy (neopr.) . - Courier Dover Publications , 1987. - S. 138 -139. — ISBN 9780486653631 .