Interpolace s více uzly

Interpolace s více uzly je problém sestrojení polynomu minimálního stupně , který nabývá v některých bodech ( uzly interpolace ) dané hodnoty a také dané hodnoty derivací až do určitého řádu .

Je ukázáno, že existuje jedinečný polynom stupně splňující podmínky: $\P_n(x)$ $\n$

P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots ,m;k=0,\cdots ,n_{i}-1

, kde .

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1

Tento polynom se nazývá mnohočlenný uzel nebo Hermitův polynom . Obecně:

P_{n}(x)=\součet _{i=1}^{m}\součet _{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_ {i, k}

, je počet uzlů a je násobek uzlu .

\m

{\displaystyle \ n_{i))

\x_{i}

Charles Hermite to ukázal

l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j} )^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\součet _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_ {s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}

, kde jsou koeficienty Taylorovy řady pro funkci .

{\displaystyle \ c_{s}^{i))

{\frac {(x-x_{i})^{n_{i))}{\prod _{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j} }}}=\sum _{s=0}^{\infty }c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}

Důkaz

Speciální případy

Pokud jsou všechny rovny jedné, pak je Hermitův interpolační polynom stejný jako Lagrangeův interpolační polynom . ${\displaystyle \ n_{i))$
Pokud je počet interpolačních uzlů jeden, pak je Hermitův interpolační polynom stejný jako Taylorův polynom .
Pokud je počet interpolačních uzlů dva a každý má hodnotu funkce a hodnotu její derivace, máme problém sestrojit kubický splajn .

Interpolace s více uzly

Důkaz

Speciální případy

Odhad zbytku interpolace

Viz také

Literatura