Iracionální posloupnost

V matematice se posloupnost kladných celých čísel a n nazývá iracionální posloupnost , pokud má vlastnost, že pro libovolnou posloupnost x n kladných celých čísel je součet posloupnosti

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

existuje a je iracionálním číslem [1] [2] . Problém popisu iracionálních sekvencí nastolili Pal Erdős a Ernst Straus , kteří původně vlastnost bytí iracionální sekvence nazvali „Vlastností P“ [3] .

Příklady

Mocniny dvou tvoří iracionální posloupnost. Nicméně, i když Sylvester sekvence $2^{{2^{n}}}$

2 , 3 , 7 , 43 , 1807, 3263443, …

(ve kterém je každý člen o jedničku větší než součin všech předchozích členů) také roste rychlostí dvojitého exponentu , netvoří iracionální posloupnost. Pokud dáme , dostaneme $x_{n}=1$

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,

která konverguje k racionálnímu číslu. Podobně faktoriály netvoří iracionální posloupnost, protože posloupnost vede k posloupnosti s racionálním součtem $n$ $x_{n}=n+2$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1

[1] .

Rychlost růstu

Jakákoli posloupnost a n , která roste takovou rychlostí, že

\limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2

je iracionální sekvence. To zahrnuje sekvence, které rostou rychleji než dvojnásobný exponent, stejně jako některé dvojité exponenciální sekvence, které rostou rychleji než mocnina dvou [1] .

Jakákoli iracionální sekvence musí růst dostatečně rychle

\lim _{{n\to \infty }}a_{n}^{{1/n}}=\infty .

Není však známo, zda existuje taková posloupnost, ve které je gcd libovolné dvojice faktorů rovna 1 (na rozdíl od mocniny mocniny dvou) a pro kterou

\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty

[4] .

Související vlastnosti

Analogicky s iracionálními posloupnostmi Hančl ( Hančl 1996 ) definoval transcendentální posloupnosti jako posloupnosti celých čísel a n tak, že pro libovolnou posloupnost x n kladných celých čísel je součet posloupnosti

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

existuje a je transcendentním číslem [5] .

Poznámky

↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Nevyřešené úlohy z teorie čísel // 3. - Springer-Verlag , 2004. - S. 346 . — ISBN 0-387-20860-7 .
↑ P. Erdős, R. L. Graham. Staré a nové problémy a výsledky v kombinatorické teorii čísel. - Ženeva: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, 1980. - Vol. 28. - (Monographies de L'Enseignement Mathématique).
↑ P. Erdős. Některé problémy a výsledky o iracionalitě součtu nekonečných řad // Journal of Mathematical Sciences. - 1975. - T. 10 . - S. 1-7 (1976) .
↑ P. Erdős. Nové pokroky v teorii transcendence (Durham, 1986). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. - S. 102-109.
↑ Jaroslav Hancl. Transcendentální sekvence // Mathematica Slovaca. - 1996. - T. 46 , no. 2-3 . - S. 177-179 .