Nastavte výkon

Mocnina neboli kardinální číslo množiny ( lat . cardinalis ← cardo „hlavní okolnost; základ; srdce“) je charakteristikou množin (včetně nekonečných ), zobecňuje pojem počtu (počet) prvků množiny . konečná množina.

Tento koncept je založen na přirozených představách o porovnávání množin:

libovolné dvě množiny, mezi jejichž prvky lze ustavit korespondenci jedna ku jedné ( bijekci ), obsahují stejný počet prvků (mají stejnou mohutnost, jsou stejně silné );
naopak: ekvipotentní množiny musí umožňovat takovou korespondenci jedna ku jedné;
část množiny nepřesahuje mohutností (tedy počtem prvků) celou množinu.

Než byla postavena teorie síly množin, množiny se lišily z hlediska znaků: prázdné / neprázdné a konečné / nekonečné a konečné množiny se lišily také počtem prvků. Nekonečné množiny se nedaly srovnávat.

Síla množin umožňuje porovnávat nekonečné množiny. Například spočetné množiny jsou „nejmenší“ nekonečné množiny.

Mohutnost množiny je označena . Někdy tam jsou zápisy , a . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {card}} (A)$

Definice

Jestliže axiom výběru je přijímán jako pravdivý, mohutnost souboru bude formálně definovaná jako nejmenší pořadové číslo , pod kterým bijektivní korespondence může být založena mezi a . Tato definice se také nazývá von Neumannovo rozdělení hlavních čísel . $\alpha$ $X$ $\alpha$

Pokud nepřijmeme axiom volby, pak je zapotřebí jiný přístup. Úplně první definice mohutnosti množiny (která je implicitní v Cantorově práci a výslovně uvedená ve Frege a také v Principia Mathematica ) je třída všech množin, které jsou ekvivalentní v mohutnosti . V axiomatických systémech založených na teorii ZFC je taková definice nepoužitelná, protože pro neprázdné je taková sbírka příliš velká, aby se vešla do definice množiny. Přesněji řečeno, if , pak existuje injektivní mapování univerzální množiny do , pod kterým každá množina přechází do , z čehož na základě axiomu omezení velikosti vyplývá, že jde o vlastní třídu. Tuto definici lze použít v teorii typů a „nových základech“ , stejně jako v souvisejících axiomatických systémech. V případě ZFC lze definici použít omezením kolekce na stejné množiny s nejmenší hodností (tento trik, který navrhla Dana Scott , funguje, protože kolekce objektů, které mají danou hodnost, je množina). $X$ $[X]$ $X$ $X$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\čas X$ $[X]$ $[X]$

Formální pořadí mezi hlavními čísly je zavedeno takto: znamená, že množinu lze injektivně mapovat na . Podle Cantor-Bernsteinovy věty vyplývá z dvojice nerovnic a to . Axiom výběru je ekvivalentní tvrzení, že pro libovolné množiny a alespoň jednu z nerovností nebo . $|X|\leq |Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

Množina se nazývá nekonečná podle Dedekind , pokud má vlastní podmnožinu takovou, že . Jinak se množina nazývá Dedekind konečná. Konečná kardinální čísla se shodují s obyčejnými přirozenými čísly nebo nulou, - jinými slovy, množina je konečná právě tehdy , když pro nějaké přirozené číslo nebo pro (pokud je množina prázdná ). Všechny ostatní množiny jsou nekonečné . S výhradou axiomu výběru lze dokázat, že Dedekindovy definice se shodují se standardními. Navíc lze dokázat, že mohutnost množiny přirozených čísel ( alef-nula , nebo aleph-0, - název je odvozen od prvního písmene hebrejské abecedy ) je nejmenší nekonečně velké kardinální číslo, tzn. , v nějaké nekonečné množině je podmnožina mohutnosti . Kardinální číslo další v pořadí je označeno a tak dále, počet alefů je nekonečný. Jakékoli řadové číslo odpovídá kardinálnímu číslu a tímto způsobem lze popsat jakékoli nekonečně velké kardinální číslo. $X$ $Y$ $|X|=|Y|$ $X$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alpha$ $\aleph _{\alpha }$

Související definice

Mohutnost množiny přirozených čísel je označena symbolem („ aleph – nula“). Množina se nazývá nekonečná , pokud její mohutnost není menší (ne menší než mohutnost množiny přirozených čísel), takže spočetné množiny jsou „nejmenší“ z nekonečných množin. Další kardinální čísla ve vzestupném pořadí jsou označena (kde index prochází všemi pořadovými čísly ). Mezi kardinálními čísly není žádné největší: pro jakoukoli sadu kardinálních čísel existuje kardinální číslo, které je větší než všechny prvky této množiny. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\tečky \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\tečky \aleph _{{\omega _{1)) },\tečky$

O množinách, které jsou ekvivalentní množině všech reálných čísel , se říká, že mají mohutnost kontinua a mohutnost takových množin je označena symbolem . Předpoklad, který se nazývá hypotéza kontinua . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

Pro kardinality, stejně jako v případě konečných množin, existují pojmy: „rovnost“, „větší“, „méně“. To znamená, že pro všechny sady a pouze jedna z těchto tří je možná: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , nebo a jsou ekvivalentní; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , nebo more strong , to znamená, že obsahuje podmnožinu, která je stejně mocná , ale ne stejně mocná; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , nebo výkonnější – v tomto případě obsahuje podmnožinu, která je ekvivalentní , ale není stejně výkonná. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- Situace, kdy a nejsou stejně mocní a zároveň žádný z nich nemá část, která je rovnocenná té druhé, je nemožná. To vyplývá ze Zermelovy věty . V opačném případě by to znamenalo existenci nesrovnatelných sil (což je v zásadě možné, pokud se nepřijme axiom volby ). $A$ $B$
- Situace, ve které a je nemožné podle Cantor-Bernsteinova teorému . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Množiny a se nazývají ekvivalentní , pokud existuje mapování množiny na množinu jedna ku jedné . [jeden] $A$ $B$ $A$ $B$

Příklady

Množina se nazývá konečná , pokud je výkonově ekvivalentní segmentu přirozené řady pro nějaké nezáporné celé číslo . Číslo vyjadřuje počet prvků v konečné množině. Pro , sada neobsahuje žádné prvky (prázdná sada). Jestliže , pak neexistuje žádné injektivní zobrazení od do ( Dirichletův princip ), a proto mezi nimi neexistuje žádná bijekce . Proto se množiny a mají různé mohutnosti. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n=0$ $m>n$ $já_{m}$ $V}$ $já_{m}$ $V}$

Množina se nazývá spočetná , pokud je ekvivalentní množině všech přirozených čísel . Počitatelné sady jsou: $\mathbb {N}$
- Sada pro všechny přírodní . Bijektivní shoda , která mapuje : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\šipka doprava n+k$
- hodně . Shoda: . ${\mathbb {N}}\pohár \{0\}$ $n\šipka doprava n-1$
- Sada celých čísel . Korespondence se získá, pokud se členy nekonečné řady porovnají s jejími dílčími součty (členy řady se berou bez zohlednění znaménka). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- Množina dvojic přirozených čísel . ${\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}$
- Množina racionálních čísel je injektivně mapována na množinu (to znamená, že jakýkoli neredukovatelný zlomek tvaru injektivně odpovídá dvojici čísel ). Proto je množina racionálních čísel nanejvýš spočetná. Ale protože obsahuje množinu přirozených čísel, je alespoň spočetná. Podle Cantor-Bernsteinovy věty je tedy přesně spočetná. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}} \times {\mathbb {N}}$

Nekonečné množiny, které nejsou ekvivalentní množině , se nazývají nespočitatelné. Množina všech možných nekonečných posloupností složených z čísel 0 a 1 je podle Cantorovy věty nespočitatelná.Mocnost této množiny se nazývá kontinuum . $\mathbb {N}$

Mohutnost množiny reálných čísel je rovna kontinuu. $\mathbb {R}$

Vlastnosti

Dvě konečné množiny jsou ekvivalentní právě tehdy, když se skládají ze stejného počtu prvků . To znamená, že pro konečnou množinu se pojem moci shoduje s obvyklým pojmem kvantity.
U nekonečných množin může být mohutnost množiny stejná jako mohutnost její vlastní (tj. ne stejná jako původní množina) podmnožiny, například . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Navíc množina je nekonečná právě tehdy, když obsahuje stejně silnou vlastní podmnožinu.
Jakákoli nekonečná množina je ekvivalentní množině všech jejích konečných podmnožin. [2] $A$
Cantorův teorém : Boolean libovolné množiny A má větší mohutnost než A , tj . $|2^{A}|>|A|$
- Zejména pro jakoukoli množinu existuje množina výkonnější.
Pomocí Cantorova čtverce lze také dokázat následující: Kartézský součin nekonečné množiny A sám se sebou je ekvivalentní množině A samotné.
Síla kartézského součinu: $|A\krát B|=|A|\cdot |B|$
Vzorec zahrnutí-vyloučení pro dvě a tři sady: $|A\cup B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\cup B\cup C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Mocnina symetrického rozdílu dvou a tří množin: $|A\bigtriangleup B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\bigtriangleup B\bigtriangleup C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Aritmetika hlavních čísel

Obyčejné aritmetické operace na přirozených číslech lze zobecnit na případ kardinálních čísel. Lze také ukázat, že v případě konečných kardinálních čísel se tyto operace shodují s odpovídajícími aritmetickými operacemi na číslech. Kromě toho si operace s kardinálními čísly zachovávají mnoho vlastností běžných aritmetických operací.

Další kardinální číslo je

Pokud přijmeme axiom výběru, pak pro každé kardinální číslo je možné určit číslo, které za ním následuje , a mezi a nejsou žádná další kardinální čísla . Pokud je samozřejmě , pak je hlavní číslo další v pořadí stejné jako . V případě nekonečna je další kardinální číslo odlišné od následujícího pořadového čísla. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V označuje předchozí kardinální číslo čísla, pokud nějaké existuje; jinak ,. $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Přidání kardinálních čísel

Jestliže množiny a nemají žádné společné prvky, pak součet mohutností je určen mohutností jejich spojení . Pokud existují společné prvky, lze původní množiny nahradit neprotínajícími se množinami stejné mohutnosti — například nahrazením za , a za . $X$ $Y$ $X$ $X\times\{0\}$ $Y$ $Y\times\{1\}$

Nulová neutralita s ohledem na přidání:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Asociativita :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )

komutativnost :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Monotónnost (neklesající) sčítání v obou argumentech:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Pokud je axiom výběru přijat jako pravdivý, pak lze snadno vypočítat součet dvou nekonečných kardinálních čísel. Pokud je jedno z čísel nebo nekonečné, pak $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Odečítání

S výhradou axiomu výběru, pro jakékoli nekonečné kardinální číslo a libovolné kardinální číslo , existence , pro které , je ekvivalentní nerovnosti . Toto je jedinečné (a shoduje se s ) právě tehdy, když . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Násobení kardinálních čísel

Součin dvou kardinálních čísel je vyjádřen kartézským součinem množin: $|X|\cdot |Y|=|X\krát Y|$

Nulové vlastnosti:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Jednotková neutralita s ohledem na násobení:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Asociativita :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu )

komutativnost :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Monotónnost (neklesající) násobení s ohledem na oba argumenty:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Distributivita násobení s ohledem na sčítání:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

Analogicky se sčítáním lze snadno vypočítat součin dvou nekonečných kardinálních čísel při respektování axiomu výběru. Pokud jsou čísla a různá od nuly a alespoň jedno z nich je nekonečné, pak $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Divize

S výhradou axiomu výběru pro libovolnou dvojici kardinálních čísel a , kde je nekonečno a nerovná se nule, existence , pro něž , je ekvivalentní nerovnosti . Toto je jedinečné (a shoduje se s ) právě tehdy, když . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Umocňování kardinálních čísel

Umocnění je definováno takto:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

kde označuje množinu všech funkcí od do . $X^{Y}$ $Y$ $X$

\kappa ^{0}=1

(zejména ), viz funkce Empty

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu }=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu }\cdot \mu ^{\nu }

Monotónní:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^{\kappa }\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Všimněte si, jaká je mocnina Booleanu a tedy pro libovolnou množinu (viz Cantorova diagonální metoda ). To znamená, že mezi kardinálními čísly není žádné největší (protože pro jakékoli kardinální číslo lze zadat větší číslo ). Ve skutečnosti je třída všech kardinálních čísel správná (ačkoli v některých systémech axiomů teorie množin to nelze dokázat - takový je například systém "New Foundations" ). $2^{{|X|}}$ $X$ $2^{{|X|}}>|X|$ $X$ $\kappa$ $2^{\kappa }$

Všechna následující tvrzení v této části se opírají o zvolený axiom.

Jestliže a jsou konečná čísla větší než 1 a je nekonečným kardinálním číslem, pak Jestliže je kardinální číslo nekonečné a konečně odlišné od nuly, pak . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Jestliže a , a alespoň jeden z nich je nekonečný, pak $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu }\))

Pomocí Königovy věty lze dokázat, že pro libovolné nekonečné kardinální číslo platí následující nerovnosti: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )))

\kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })

kde označuje uzavřenost . $\operatorname {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Extrakce kořenů

Pokud dodržíme axiom výběru, pak pro libovolného nekonečného kardinála a konečného kardinála existuje kardinální číslo takové, že , a . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmy

S výhradou axiomu výběru, kardinální číslo , které splňuje podmínku , dané nekonečné a konečné , vždy neexistuje. Pokud taková existuje, pak je nekonečná a menší než , a jakékoli konečné kardinální číslo také splní rovnost . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Logaritmus nekonečného kardinálního čísla je nejmenší kardinální číslo , které splňuje podmínku . Navzdory skutečnosti, že logaritmy nekonečně velkých kardinálních čísel postrádají některé vlastnosti, které jsou charakteristické pro logaritmy kladných reálných čísel, ukazují se být užitečné v určitých oblastech matematiky - zejména při studiu kardinálních invariantů topologických prostory. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Hypotéza kontinua

Podle hypotézy kontinua nejsou mezi a žádná další kardinální čísla . Kardinální číslo je také označeno a představuje mohutnost kontinua (tj. množiny reálných čísel ). V tomto případě . Zobecněná hypotéza kontinua popírá existenci hlavních čísel přísně mezi a pro nějakou nekonečnou množinu . Hypotéza kontinua je nezávislá na standardní axiomatizaci teorie množin, tedy na systému Zermelo-Fraenkelových axiomů v kombinaci s axiomem výběru (viz Zermelo-Fraenkelova teorie množin ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $X$

Viz také

Pořadové číslo

Poznámky

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Obecná algebra. Svazek 1. - M., Nauka, 1990. - str. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Obecná algebra. Svazek 1. - M., Nauka, 1990. - str. 32

Literatura

A. A. Bolibrukh, Hilbertovy problémy (o 100 let později), Kapitola 2 První Hilbertův problém: hypotéza kontinua Archivováno 3. června 2004 ve Wayback Machine , Mathematical Education Library, Issue 2
R. Courant, G. Robbins, Co je matematika? Kapitola II, § 4.
Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M . : Vzdělávání , 1991. - S. 109-110. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Teorie funkcí reálné proměnné. - M. : Nauka, 1971. - 119 s.

Numerické soustavy
Počitatelné sady	Přirozená čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ celá čísla ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ racionální ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraické ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Období Vypočitatelný Aritmetický
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplexní ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ čtveřice ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyova čísla (oktávy, osminky) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternions Dvojí Hyperkomplex Superreálné Hypermateriál nadreálný
Nástroje pro numerické rozšíření	Cayley-Dixonův postup Frobeniova věta Hurwitzova věta
Jiné číselné soustavy	kardinální čísla Řadové číslovky (překonané, řadové) p-adic Nadpřirozená čísla intervalová čísla
viz také	dvojitá čísla Iracionální čísla transcendentální čísla číselný paprsek Biquaternion